Общие элементы множества чисел презентация. Презентация: Множества и операции над ними

Обычно множества обозначают большими
буквами: A,B,X N ,…, а их элементы –
соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n…
В частности, приняты следующие обозначения:
ℕ – множество натуральных чисел;
ℤ – множество целых чисел;
ℚ – множество рациональных чисел;
ℝ – множество действительных чисел (числовая
прямая).
– множество комплексных чисел. И верно
следующее:
N Z Q R C

Способы задания множеств

Операции над множествами

Слайд 2

Натуральные числа и действия над ними Делимость. Простые и составные числа Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Задачки Понятие множества, пересечение и объединение множеств Одночлены и многочлены Разложение многочлена на множители Формулы сокращённого умножения Подумай и реши Задания Авторы

Слайд 3

Натуральные числа в порядке возрастания можно записать в виде последовательности 1, 2, 3, 4,… Множество всех натуральных чисел обозначается через N. Для натуральных чисел определены арифметические операции(сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в Степень(число а в степени n, аn – это результат умножения числа а на себя n раз), обратная операция к возведению в степень – извлечение корня (b = ⁿ√а, если а = bⁿ) Сложение и умножение удовлетворяют переместительному закону(закону коммутативности): a+b=b+a, a·b=b·a и сочетательному закону (закону ассоциативности): (a+b)+c=a+(b+c), (a·b) ·c=a·(b·c), а также распределительному (дистрибутивному) закону: (a+b)·c=a·c+b·c натуральные числа и действия над ними 1 2 3 4 5

Слайд 4

ДЕЛИМОСТЬ. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА. Разделить число а на число b – значит найти такое x, a: b = x, что xb = a. Если такое число существует, то говорят, что а делится на b, а число bназывается делителем числа а. На 2 (или на 5) делятся те и только те числа, последняя цифра которых выражает число, делящееся на 2 (или на 5) На 4 (или на 25) делятся те и только числа, две последние цифры которых выражают число, делящееся на 4 (или на 25) На 3 (или на 9) делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или на 9) На 11 делятся те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11 Число а, отличное от 1, называется простым, если делителями являются только единица и само число а. Число а, имеющее и другие делители, называется составным. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, например: 12 = 2 · 2 · 3 = 2²· 3.

Слайд 5

НОД и НОК Среди общих делителей чисела и b можно выбрать наибольший общий делитель НОД (a ; b). Например, НОД (45 ; 60) = 15. Если НОД (a ; b) =1, то числа а и b называются взаимно простыми. Любой общий делитель произвольных чисел а и b делит наибольший общий делитель этих чисел. Число, делящееся на число а и на число b, называется общим кратным чисел а и b. Среди общих кратных а и b можно выбрать наименьшее общее кратное НОК (a ; b). Например, НОК (4 ; 6) = 12. Любое общее кратное произвольных чисел а и b делится на НОК (a ; b). Числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда НОК (a ; b) = a · b.

Слайд 6

Найдите НОД двух чисел: 1. 45 ; 135 2. 84 ; 168 3. 5 ; 60 Найдите НОК двух чисел: 1. 4 ; 5 2. 6 ; 7 3. 7 ; 8. задачи

Слайд 7

Понятие множества Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Множество можно представить себе как совокупность (собрание) некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку. Множество – понятие неопределяемое. Множество может состоять из чисел, предметов и т. д. Каждое число (предмет), входящее в множество, называется элементом множества. - это множество точек 3. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, записывается в виде а€ А. для множества однозначных чисел: А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} число 4 принадлежит А, а число 20 не принадлежит А

Слайд 8

Продолжение 4. Множество, которое не содержит элементов, называется пустым и обозначается символом Ø. 5. Если каждый элемент одного множества А является элементом другого множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. Это выражается записью А с В. 6. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств (рис. 1) А В С Рис. 1

Слайд 9

7. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них. Объединение множеств обозначают символом ں и пишут С = А ں В = { x | x € A или x € B (рис. 2) А В Вопрос: какое множество является объединением данных множеств? А = {1 ; 2 ; 5 ; 7} , B = {3 ; 5 ; 7 ; 8} 2. Н = {4 ; 7 ; 67 ; 34 ; 5 ; 2 }, M = {7 ; 89 ; 34 } 3. K = { 78 ; 89 ; 56 ; 90}, P = {87 ; 98 ; 65 ; 9}

Слайд 10

одночлены и многочлены Выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и натуральных степеней, называется одночленом. 2. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, 8x³y² - одночлен пятой степени. Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом или равные между собой, называются подобными. 3. Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Например, 1+ 2х² - 5х²у³ - многочлен пятой степени. 4. При взятии суммы многочленов надо привести подобные члены (слагаемые). Для этого достаточно сложить их коэффициенты и полученное число умножить на буквенное выражение.

Слайд 11

5. При взятии разности многочленов надо вычитаемый многочлен взять в скобки, далее раскрыть скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный, после чего привести подобные члены. Например, (4х² - 3х + 3) – (3х² - х + 2) = = 4х² - 3х + 3 – 3х² + х – 2 = х² - 2х + 1. 6. Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные произведения сложить. Деление многочлена на одночлен произведение по аналогичному правилу. 7. Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить. Например, 5х(х – у) + (2х + у)(х – у) = = 5х² - 5ху + 2х² + ху – 2ху - у² = 7х² - 6ху - у²

Слайд 12

Разложение многочленана множители При вынесения общего множителя за скобки выражение в скобках получается делением каждого члена многочлена на общий множитель. Например, 3ax³ - 6a²x + 12ax² = 3ax(x² - 2a + 12x) Решите самостоятельно: 1. ab + 2a – 3b – 6 2. 3(x – 2y)² - 3x + 6y

Слайд 13

формулы сокращённого умножения а 2 - в 2 = (а - в)(а + в) (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

В этой презентации «Множество. Элемент множества» школьники 7-го класса смогут подробно рассмотреть значение одноименных понятий в математике. После титульного листа с названием темы на 2-ом слайде приведены примеры множеств. На самом деле их может быть огромное количество, но не это главное. Данные примеры дают учащимся понять, что множество - это, в первую очередь группа схожих объектов, объединенная в одно целое, а, соответственно, и название она несет сплоченное.

слайды 1-2 (Тема презентации "Множество. Элемент множества", пример)

На третьем слайде объясняется, что множество может применяться четными, натуральными, а также дробными числами. Для каждой ситуации приведен конкретный пример. В этом же разделе с помощью иллюстрации пятиугольника разъясняется, что собой представляет элемент множества. Это наглядное изложение материала позволяет школьникам легче представить абстрактные понятия предмета.

Далее отдельный слайд посвящен множеству простых чисел. Для лучшего понимания данного материала приведено несколько примеров, в которых простые числа являются заключенными в заданном множестве. Это необходимо для того, чтобы ученик усвоил, что во множестве могут быть заключены как одно или более простых чисел, так и вовсе может и не быть ни одного простого числа в нем. В итоге разговор сводится к тому, что в математике есть еще одно понятие под названием «пустое» множество.

слайды 3-4 (примеры. определение делителя)

На следующем слайде кратко показано с помощью иллюстраций правильное обозначение множества. Оно может быть записано как в буквенной, так и в числовой форме в зависимости от заданных элементов множества.

Далее в учебной презентации следует информация о дальнейших видах множества. Оно может также применяться с целыми, натуральными и рациональными числами. В приведенных к данному слайду примерах можно легко понять, каким образом стоит считать элементы принадлежащими ко множеству или, наоборот, не принадлежащими.

слайды 5-6 (примеры)

Далее речь пойдет о свойствах множества. В процессе подачи этого материала школьникам будет доступно объяснено, в чем состоит суть такого понятия, как «характеристическое свойство множества». Для того, чтобы у школьников была возможность более точно запомнить определение этого математического явления, расшифровка его значения будет дана на слайде презентации.

После этого дается пример о кратком написании множества заданных чисел. В данном примере даны все 14 целых чисел. Кроме того, ученику объясняется, как можно описать в краткой форме то, что множество может быть больше или же меньше выходящего за его границы натурального числа.

слайды 7-8 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)

Поняв вышеуказанный материал, дальше школьники учатся записывать множество вместе с заданными переменными. На следующем слайде приведен уже совершенно иной пример. Он касается множества кратных чисел. В примере присутствуют 5 чисел, кратные 5-ти. А ниже них указано выражение с переменными, соответствующее этому множеству.

слайды 9-10 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)

Затем последний слайд презентации позволяет учащимся решить более сложную задачу . Сначала дано выражение с переменными множества С , а ниже под ним числовое выражение множества D . Суть этого задания в том , что нужно найти числовое выражение множества С с учетом того , что оба множества между собой равны , то есть обладают одними и теми же элементами множества .

После того , как учащиеся справятся с поставленной задачей , презентация урока «Множество . Элемент множества » будет завершена , и ученики смогут начать задавать вопросы по пройденному материалу . Такой вид урока станет довольно эффективным инструментом ¸ используемом в учебных программах по предмету «Математика » за счет своей простоты и наглядности .

Урюпинский филиал ГБПОУ “Волгоградский медицинский колледж”

Слайд 2: Основные вопросы:

Понятие множества Способы задания множества Отношения между множествами Операции над множествами

Слайд 3

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель теории множеств – Георг Кантор (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв.

Слайд 4: Понятия теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так: Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Слайд 5

С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С, D. Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита.

Слайд 6: Примеры множеств:

множество учащихся в данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; множество точек данной геометрической фигуры; множество чётных чисел; множество корней уравнения х2-5х+6=0; множество действительных корней уравнения х2+9=0;

Слайд 7

понедельник вторник среда пятница суббота Дни недели

Слайд 8

Музыкальные инструменты

Слайд 9

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( - принадлежит). В противном случае, если a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение : Если множество А является ч астью множества В, то записывают А  В ( - содержится).

10

Слайд 10

множество элемент Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр Натуральные числа 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двузначные четные числа Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Квадраты чисел Цифры десятичной системы счисления 10, 12, 14, 16 … 96, 98

11

Слайд 11

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

12

Слайд 12

Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I - множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел.

13

Слайд 13: Способы задания множеств

Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: A={студент А., рабочий Л., школьник М.}. 2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: « A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B ». Например, а – четное натуральное число. 3. Множество может быть задано указанием характеристического свойства его элементов, то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и только они: Здесь x  М означает, что элемент х является элементом известного множества. Запись Р(х) означает, что элемент х обладает свойством Р. Свойство Р(х) формулируется словами, символами или выражается с помощью уравнения или неравенства.

14

Слайд 14: Примеры

15

Слайд 15: Примеры

16

Слайд 16: Виды множеств:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

17

Слайд 17: Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ

Пример Множество гласных букв в слове “ математика ” состоит из трёх элементов – это буквы “ а ”, “ е ”, “ и ”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

18

Слайд 18: Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ

Пример Множество натуральных чисел бесконечно. Пример Множество точек отрезка бесконечно. Пример Множество атомов во Вселенной

19

Слайд 19: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком 

Пример Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0. Пример Множество людей, проживающих на Солнце.

20

Слайд 20: Мощность множества

Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и обозначают символом m (A) или |A|. Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.

21

Слайд 21: Пример. Определите мощность какого из множеств A = {1, 3, 5, 7, 9} или B = {2, 4, 6, 8} больше

Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Так, если A = {1, 3, 5, 7, 9}, а B = {2, 4, 6, 8}, то m (A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) > m (B).

22

Слайд 22: Отношения между множествами

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна). Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)

23

Слайд 23

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника

24

Слайд 24

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Эта зависимость между множествами называется включением. При этом пишут A  B, где  есть знак вложения подмножества.

25

Слайд 25: Свойства множеств

Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A  B. Для любых множеств А,В,С справедливо свойство транзитивности: если и, то. Для всякого множества А пустое множество  является его подмножеством:   А

26

Слайд 26

Два множества А и В называются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. Примеры 1.,. Множества и состоят из одних и тех же элементов, поэтому они равные: А = В. 2. Множество решений уравнения есть множество чисел 2 и 3, то есть. Множество В простых чисел, меньших 5, также состоит из чисел 2 и 3, то есть.

27

Слайд 27: Количество подмножеств

Если мощность множества n, то у этого множества 2 n подмножеств. А= {1,2 } Подмножества А: {  }, { 1 }, { 2 }, { 1,2 }.

28

Слайд 28

В= {1,3,5 } Подмножества В: {  }, { 1 }, { 3 }, { 5 }, { 1,3 }, { 1,5 }, { 5,3 }, {1,3,5 } С= { а,и,е,о } Подмножества С: {  }, { а }, { и }, { е }, { о }, { а,и }, { а,е }, { а,о }, { и,е }, { и,о }, { е,о }, { а,и,е }, { а,и,о }, { а,е,о }, { и,е,о }, { а,и,е,о }. Количество подмножеств

29

Слайд 29: Операции над множествами

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. А ∩В= { х│ хєА и х єВ }

30

Слайд 30

Например, если А={ a, b, c }, B={ b, c, f, e }, то А ∩ В = { b } Операции над множествами пересечение

31

Слайд 31: Операции над множествами

32

Слайд 32

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А или В. Операции над множествами А U В= { х│хєА или х єВ }

33

Слайд 33: объединение

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А  B = {1,2,3,4,5,6} 1 2 4 А 4 3 5 6 В Операции над множествами

34

Слайд 34: Операции над множествами

35

Слайд 35: Операции над множествами

Разностью множеств А и В называется множество А- В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Операции над множествами

36

Слайд 36: разность

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2} 1 2 4 А 4 3 5 6 В Операции над множествами