Учебное занятие: Геометрические задачи (на разрезание)
Цель занятия:
развитие интереса к предмету
развитие творческих способностей учащихся
развития внимания, памяти, навыков самостоятельной и коллективной работы
развитие умственной самодеятельности, сообразительности и «смекалки»
Ход занятия:
Сегодня геометрические задачи (на разрезание) будут связаны с одной на вид простой геометрической фигурой.
Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нем прямой.
Все четыре стороны
Одинаковой длины.
Вам его представить рад.
Как зовут его?
Главной заслугой квадрата стало использование его, как удобной единицы площади. Действительно, квадратами очень удобно замащивать плоские участки, а скажем, кругами такого не сделаешь без дыр и наложений. Часто математики вместо слов «нахождение площади» говорят «квадрирование».
Так, задача о нахождении площади круга называется задачей о квадратуре круга. Квадрат-главное действующее лицо в теореме Пифагора.
Задание №1
Задание №2
Квадрат на 20 равных треугольников
Разрезать квадратный кусок бумаги на 20 равных треугольников и сложить из них 5 равных квадратов.
Задание №3
Из креста – Квадрат
Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один квадрат.
Задание №4
Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.
Способов несколько.
Задание №5
Разрежьте квадрат 7×7 на пять частей и переложите их так, чтобы получилось три квадрата: 2×2, 3×3 и 6×6.
Задание №6
Разрежьте квадрат на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадрату.
Задание №7
Сколько всего квадратов на рисунке?
Разделить квадрат на более мелкие квадратики одинаковой площади очень просто: достаточно провести сетку равноотстоящих прямых, параллельных сторонам квадрата. Количество полученных квадратиков будет квадратом, да, да! Именно поэтому произведение двух одинаковых чисел назвали квадратом. А можно ли разрезать квадрат на несколько квадратиков, среди которых нет одинаковых?
Этот вопрос долго оставался нерешенным. Многие даже выдающиеся математики считали, что такое разрезание невозможно. Но в 1939 году было построено разбиение квадрата на 55 различных квадратов. В 1940 году были найдены два способа разбиения квадрата на 28 различных квадратов, за тем-на 26 квадратов, а в 1948 году было получено разбиение на 24 различных квадрата. В 1978 году было найдено разбиение 21 различный квадрат и доказано, что разбиение на меньшее число различных квадратов найти уже нельзя.
И закончим сегодняшнее занятие занимательной игрой, связанной тоже с квадратом, «Танграм»
На рисунке показан квадрат, разделенный на 7 частей, из которых можно складывать разнообразные фигуры из альбома, предоставленным учителем.
1. На клетчатой бумаге нарисовали фигуру. Разделите её на 4 одинаковые
части по линиям клетчатой бумаги. Найдите все возможные фигуры, на которые
можно разрезать данную фигуру согласно условию задачи.
Р е ш е н и е.
2. Из квадрата 5 5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся
фигуру на две равные части двумя способами.
Р е ш е н и е.
3. Разделите прямоугольник 3 × 4 на две равные части. Найдите как можно
больше способов. Разрезать можно лишь по стороне квадрата 1 × 1, и способы
считаются разными, если получаемые фигуры не будут равными при каждом
способе.
Р е ш е н и е.
4. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на 2 равные части.
Р е ш е н и е.
5. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на 2 равные части.
Р е ш е н и е.
6. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части по
линиям сетки, причем в каждой из частей должен быть кружок.
Р е ш е н и е.
7. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части
Р е ш е н и е.
8. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части
по линиям сетки, причем в каждой из частей должен быть кружок.
Р е ш е н и е.
9. Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток так, чтобы все части
были одинакового размера и формы и чтобы каждая содержала по одному
кружку и крестику.
Р е ш е н и е.
10. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, по линиям сетки на
четыре равные части и сложите из них квадрат так, чтобы кружки и крестики
расположились симметрично относительно всех осей симметрии квадрата.
Р е ш е н и е.
11. Разрежьте квадрат 6 6 клеток, изображенный на рисунке, на четыре
одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки.
Р е ш е н и е.
12. Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть
соприкасалась с тремя остальными (части соприкасаются, если у них есть общий
участок границы)?
Р е ш е н и е.
13. Можно ли разрезать прямоугольник 9 4 клеток на две равные части по
то как это сделать?
Р е ш е н и е. Площадь такого квадрата – 36 клеток, то есть его сторона – 6
клеток. Способ разрезания представлен на рисунке.
14. Можно ли разрезать прямоугольник 5 10 клеток на две равные части по
сторонам клеток так, чтобы из них можно было бы составить квадрат? Если да,
то как это сделать?
Р е ш е н и е. Площадь такого квадрата – 50 клеток, то есть его сторона –
больше 7, но меньше 8 целых клеток. Значит, такой прямоугольник разрезать
требуемым способом по сторонам клеток нельзя.
15. Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Всего
стало 15 листов. Сколько листов бумаги разрезали?
Р е ш е н и е. Разрезали 3 листа: 3 ∙ 3 + 6 = 15.
Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды: на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»); определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных. Трансформирование – требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру
Задача 1. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений имеет задача?
При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом (на рис. 3 показаны два продолжения рис. 2 (а)). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три (на рис. 4 показаны три продолжения рис. 2 (б)). Указанный порядок действий помогает найти все решения.
Задача 2 Прямоугольник 4 × 9 клеток разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить квадрат.
Решение. Посмотрим, сколько клеток будет содержать квадрат. 4 · 9=36 - значит, сторона квадрата - 6 клеток, так как 36=6 · 6. Как разрезать прямоугольник - показано на рис. 95 (б). Это способ разрезания называют ступенчатым. Как из полученных частей составить квадрат - показано на рис. 95 (в).
Задача 3. Можно ли квадрат 5× 5 клеток разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток? Ответ обоснуйте.
Решение. Нельзя, так квадрат состоит из 25 клеток. Его нужно разрезать на две равные части. Поэтому в каждой части должно быть по 12, 5 клеток, а значит, линия разреза будет проходить не по сторонам клеток.
Пентамино 12 фигур, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, причем квадраты «соседствуют « друг с другом только сторонами. «ПЕНТА» - «ПЯТЬ» (с греческого)
Пентамино Игра, заключающая в складывании различных фигур из заданного набора Придумана американским математиком С. Голомбом в 50 – ые годы XX века
№ 1. Выложите плитками 2*1 пол в комнате размером 5*6 (сплошной паркет). Пусть у нас имеется неограниченный запас прямоугольных плиток размером 2*1, и мы хотим выложить ими пол прямоугольной формы, причем никакие две плитки не должны перекрываться.
В этом случае одно из чисел p или q должно быть четно. Если, например, p=2 r, то пол можно выложить так, как показано на рисунке. Но в таких паркетах есть линии разрыва, которые пересекают всю «комнату» от стены до стены, но не пересекают плитки. А на практике используются паркеты без таких линий – сплошные паркеты.
Естественно возникает вопрос, при каких p и q прямоугольник p*q допускает сплошное разбиение на плитки 2*1?
№ 3. На листе клетчатой бумаги размерами 10*10 клеток наметьте разрезы, с помощью которых можно получить как можно больше целых фигур, изображенных на рисунке. Фигуры, изображенные на рисунке, можно переворачивать.
Ответ: В данном случае умещается 24 целых фигуры. Других способов, при которых получается больше целых фигурок, пока не найдено.
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 8 8 13 5 64 квадратика 65 квадратиков
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 8 8
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 2 1 3 4
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 1 2 3 4
Ответ: Диагональная линия левого рисунка не прямая; на точном рисунке виден параллелограмм площади 1, как и следовало ожидать.
Последовательность Фибоначчи j 1 = 1, j 2 = 1, j 3 = 2, j 4 = 3, j 5 = 5, j 6 = 8, j 7 = 13, j 8 = 21, j 9 = 34, j 10 = 55, j 11 = 89, . . . обладает следующим свойством: квадрат числа Фибоначчи на 1 отличается от произведения предшествующего ему и следующего за ним чисел Фибоначчи; точнее говоря, jn 2 + (– 1)n = jn – 1 jn + 1.
Например, при n = 6 формула превращается в равенство 82 + 1 = 5 · 13, а при n = 7 - в равенство 132 – 1 = 8 · 21. Советую нарисовать картинки, аналогичные рисунку к условию задачи, для нескольких других значений n.