Уравнение теплопроводности записывается в виде. Теплопроводность

Если f (x , t) = 0 {\displaystyle f(x,\;t)=0} , то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)} ).

Если α i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)} , то такое условие называют условием первого рода , если β i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)} - второго рода , а если α i {\displaystyle \alpha _{i}} и β i {\displaystyle \beta _{i}} отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция в пространстве D × [ 0 , T ] , D ∈ R n {\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb {R} ^{n}} , удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0} , причем D {\displaystyle D} - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция u (x , t) {\displaystyle u(x,\;t)} может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области D {\displaystyle D} .

Примечания

Решение алгебраических уравнений методом Ньютона

Достаточно популярным методом решения уравнений является метод касательных , или метод Ньютона . В этом случае уравнение вида f (x ) = 0 решается следующим образом. Сначала выбирается нулевое приближение (точка x 0). В этой точке строится касательная к графику y = f (x ). Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс является следующим приближением для корня (точка x 1). В этой точке снова строится касательная и т.д. Последовательность точек x 0 , x 1 , x 2 … должна привести к истинному значению корня. Условием сходимости является .

Так как уравнение прямой, проходящей через точку x 0 , f (x 0) (а это и есть касательная), записывается в виде

а в качестве следующего приближения x 1 для корня исходного уравнения принимается точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, то следует положить в этой точке y = 0:

откуда немедленно следует уравнение для нахождения следующего приближения через предыдущее:

На Рис. 3 показана реализация метода Ньютона средствами Excel. В ячейку B3 вводится начальное приближение (x 0 = -3), а затем остальных ячейках столбца вычисляются все промежуточные величины вплоть до вычисления x 1 . Для выполнения второго шага в ячейку C3 вводится значение из ячейки B10 и процесс вычислений повторяется в столбце C. Затем, выделив ячейки C2:C10 можно, потянув за маркер в правом нижнем углу выделенной области, распространить его на столбцы D:F. В итоге в ячейке F6 получено значение 0, т.е. значение в ячейке F3 есть корень уравнения.

Этот же результат можно получить, используя циклические вычисления. Тогда после заполнения первого столбца и получения первого значения x 1 следует ввести в ячейку H3 формулу =H10. При этом вычислительный процесс будет зациклен и для того, чтобы он выполнялся, в меню Сервис | Параметры на вкладке Вычисления необходимо установить флажок Итерации и указать предельное число шагов итерационного процесса и относительную погрешность (установленное по умолчанию число 0,001 явно недостаточно во многих случаях), по достижении которой вычислительный процесс остановится.

Как известно, такие физические процессы, как перенос тепла, перенос массы в процессе диффузии, подчиняются закону Фика

где l - коэффициент теплопроводности (диффузии), а T – температура (концентрация), а – поток соответствующей величины. Из математики известно, что дивергенция потока равна объемной плотности источника Q этой величины, т.е.

или, для двухмерного случая, когда исследуется распределение температуры в одной плоскости, это уравнение может быть записано в виде:

Решение этого уравнения аналитически возможно только для областей простой формы: прямоугольник, круг, кольцо. В остальных ситуациях точное решение этого уравнения невозможно, т.е. невозможно и определить распределение температуры (или концентрации вещества) в сложных случаях. Тогда приходится использовать приближенные методы решения таких уравнений.

Приближенное решение уравнения (4) в области сложной формы состоит из нескольких этапов: 1) построение сетки; 2) построение разностной схемы; 3) решение системы алгебраических уравнений. Рассмотрим последовательно каждый из этапов и их реализацию с помощью пакета Excel.

Построение сетки. Пусть область имеет форму, показанную на рис. 4. При такой форме точное аналитическое решение уравнения (4), например, методом разделения переменных, невозможно. Поэтому будем искать приближенное решение этого уравнения в отдельных точках. Нанесем на область равномерную сетку, состоящую из квадратов со стороной h . Теперь, вместо того, чтобы искать непрерывное решение уравнения (4), определенное в каждой точке области, будем искать приближенное решение, определенное только в узловых точках сетки, нанесенной на область, т.е. в углах квадратов.

Построение разностной схемы. Для построения разностной схемы рассмотрим произвольный внутренний узел сетки Ц (центральный) (рис.5). С ним соседствуют четыре узла: В (верхний), Н (нижний), Л (левый) и П (правый). Напомним, расстояние между узлами в сетке равно h . Тогда, используя выражение (2) для приближенной записи вторых производных в уравнении (4), можно приближенно записать:

откуда легко получить выражение, связывающее значение температуры в центральной точке с ее значениями в соседних точках:

Выражение (5) позволяет нам, зная значения температуры в соседних точках, вычислить ее значение в центральной точке. Такая схема, в которой производные заменяются конечными разностями, а для поиска значений в точке сетки используются только значения в ближайших соседних точках, называется цетрально-разностной схемой, а сам метод – методом конечных разностей.

Нужно понимать, что уравнение, аналогичное (5), мы получаем ДЛЯ КАЖДОЙ точки сетки, которые, таким образом, оказываются связанными друг с другом. То есть мы имеем систему алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу узлов сетки. Решать такую систему уравнений можно различными методами.

Решение системы алгебраических уравнений. Метод итераций. Пусть в граничных узлах температура задана и равна 20, а мощность теплового источника равна 100. Размеры нашей области заданы и равны по вертикали 6, а по горизонтали 8, так что сторона квадрата сетки (шаг) h = 1. Тогда выражение (5) для вычисления температуры во внутренних точках принимает вид

Нажмите «Отмена» и перейдите в окно Сервис|Параметры|Вычисления , где установите флажок в разделе «Итерации», указав при этом в качестве относительной погрешности величину 0,00001, а в качестве предельного количества итераций 10000:

Такие значения обеспечат нам малую СЧЁТНУЮ погрешность и гарантируют, что итерационный процесс дойдет до заданной погрешности.

Однако эти значения НЕ ОБЕСПЕЧИВАЮТ малую погрешность самого метода, так как последняя зависит от погрешности при замене вторых производных конечными разностями. Очевидно, что эта погрешность тем меньше, чем меньше шаг сетки, т.е. размер квадрата, на котором строится наша разностная схема. Это означает, что точно ВЫЧИСЛЕННОЕ значение температуры в узлах сетки, представленное на рис. 6, на самом деле может оказаться совсем не соответствующим действительности. Существует единственный метод проверить найденное решение: найти его на более мелкой сетке и сравнить с предыдущим. Если эти решения отличаются мало, то можно считать, что найденное распределение температуры соответствует действительности.

Уменьшим шаг вдвое. Вместо 1 он станет равным ½. Число узлов у нас соответственно изменится. По вертикали вместо 7 узлов (было 6 шагов, т.е. 7 узлов) станет 13 (12 квадратов, т.е. 13 узлов), а по горизонтали вместо 9 станет 17. При этом не следует забывать, что величина шага уменьшилась вдвое и теперь в формуле (6) вместо 1 2 нужно в правой части подставлять (1/2) 2 . В качестве контрольной точки, в которой будем сравнивать найденные решения, возьмем точку с максимальной температурой, отмеченную на рис. 6 желтым цветом. Результат вычислений показан на рис. 9:

Видно, что уменьшение шага привело к существенному изменению значения температуры в контрольной точки: на 4%. Для повышения точности найденного решения следует ещё уменьшить шаг сетки. Для h = ¼ получим в контрольной точке 199,9, а для h = 1/8 соответствующее значение равно 200,6. Можно построить график зависимости найденной величины от величины шага:

Из рисунка можно сделать вывод, что дальнейшее уменьшение шага не приведет к существенному изменению температуры в контрольной точке и точность найденного решения можно считать удовлетворительной.

Используя возможности пакета Excel, можно построить поверхность температуры, наглядно представляющую ее распределение в исследуемой области.

с начальными условиями

и граничными условиями

Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций (94)

т.е. в форме разложения

считая при этом t параметром.

Пусть функции f (x , t ) является непрерывной и имеет кусочно-непрерывную производную 1-го порядка по х и при всех t >0 выполняются условия

Предположим теперь, что функции f (x , t ) и
можно разложить в ряд Фурье по синусам

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Подставим (116) в уравнение (113) и с учетом (117), получим

.

Это равенство выполняется тогда, когда

, (121)

или, если
, то это уравнение (121) можно записать в виде

. (122)

Пользуясь начальным условием (114) с учетом (116), (117) и (119) получаем, что

. (123)

Таким образом, для нахождения искомой функции
приходим к задаче Коши (122), (123) для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пользуясь формулой Эйлера можно записать общее решение уравнения (122)

,

а с учетом (123) решение задачи Коши

.

Следовательно, когда мы подставим значение этой функции в выражение (116), в итоге получим решение исходной задачи

(124)

где функции f (x , t ) и
определены формулами (118) и (120).

Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения параболического типа

при начальном условии

(14.2)

и граничных условиях

. (14.3)

▲ Подберем сначала такую функцию  , чтобы удовлетворяла граничным условиям (14.3). Пусть, например,  = xt 2 . Тогда

Следовательно, функция определяемая как

удовлетворяет уравнению

(14.5)

однородным граничным условиям

и нулевым начальным условиям

. (14.7)

Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения

при условиях (14.6), (14.7), положим

.

Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

,
.

Решая эту задачу, находим собственные значения

и соответствующие им собственные функции

. (14.8)

Решение задачи (14.5)-(14.7) ищем в виде ряда

, (14.9)

(14.10)

Подставив
из (14.9) в (14.5) получим

. (14.11)

Для нахождения функции T n (t ) разложим функцию (1-х ) в ряд Фурье по системе функций (14.8) на интервале (0,1):

. (14.12)

,

и из (14.11) и (14.12) получаем уравнение

, (14.13)

которое является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение найдем по формуле Эйлера

а с учетом условия (14.10), найдем решение задачи Коши

. (14.14)

Из (14.4), (14.9) и (14.14) находим решение исходной задачи (14.1)- (14.3)

Задания для самостоятельной работы

Решить начально-краевые задачи

3.4. Задача Коши для уравнения теплопроводности

В первую очередь рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности.

удовлетворяющее

Начнем с того, что заменим переменные x и t на
и введем в рассмотрение функцию
. Тогда функции
будут удовлетворять уравнениям

где
- функция Грина, определяемая формулой

, (127)

и обладающая свойствами

; (130)

. (131)

Умножив первое уравнение на G * , а второе на и и затем сложив полученные результаты, получим равенство

. (132)

После интегрирования по частям равенства (132) по в пределах от -∞ до +∞ и пов пределах от 0 доt , получим

Если предполагать, что функция
и ее производнаяограничены при
, то в силу свойств (131) интеграл в правой части (133) равен нулю. Следовательно, можно записать

Заменив в этом равенстве на
, а
на
, получим соотношение

.

Отсюда, используя формулу (127) окончательно получим

. (135)

Формула (135) называется формулой Пуассона и определяет решение задачи Коши (125), (126) для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием.

Решение же задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

представляет собой сумму решений:

где является решением задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности. , удовлетворяющее неоднородному начальному условию, аявляется решением, удовлетворяющее однородному начальному условию. Таким образом, решение задачи Коши (136), (137) определяется формулой

Пример 15. Найти решение уравнения

(15.1)

для следующего распределения температуры стержня:

▲ Стержень является бесконечным, поэтому решение можно записать, используя формулу (135)

.

Так как
в интервале
равна постоянной температуре, а вне этого интервала температура равна нулю, то решение принимает вид

. (15.3)

Полагая в (15.3)
, получим

.

Поскольку

представляет собой интеграл вероятностей, то окончательное решение исходной задачи (13.1), (13.2) можно выразить формулой

.▲

Формулы для расчета температурного поля и теплового потока в частных задачах стационарной и нестационарной теплопроводности получают исходя из математического описания (математической модели) процесса. Основу модели составляет дифференциальное уравнение теплопроводности, которое выводится с привлечением первого закона термодинамики для тел, не совершающих работы, и закона теплопроводности Фурье. Дифференциальное уравнение физического процесса обычно выводится при тех или иных допущениях, упрощающих процесс. Поэтому получаемое уравнение описывает класс процессов только в пределах принятых допущений. Каждая конкретная задача описывается соответствующими условиями однозначности. Таким образом, математическое описание процесса теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности.

Рассмотрим вывод дифференциального уравнения теплопроводности при следующих допущениях:

• а) тело однородно и анизотропно;
• б) коэффициент теплопроводности зависит от температуры;
• в) деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;
• г) внутри тела имеются равномерно распределенные внутренние источники теплоты q v = f(x, у, z, т) = const;
• д) перемещение макрочастиц тела относительно друг друга (конвекция) отсутствует.

В теле с принятыми характеристиками выделяем элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, определенно ориентированный в ортогональной системе координат (рис. 14.1). В соответствии с первым законом термодинамики для тел, не совершающих работы, изменение внутренней энергии dU вещества в выделенном объеме за время dx равно сумме теплоты, поступающей

Рис. 14.1.

в объем вследствие теплопроводности dQ x , и теплоты, выделенной внутренними источниками dQ 2 ".

Из термодинамики известно, что изменение внутренней энергии вещества в объеме dV за время dx равно

где dG = рdV - масса вещества; р - плотность; с - удельная массовая теплоемкость (для сжимаемых жидкостей c = c v (изохорной теплоемкости)).

Количество энергии, выделенное внутренними источниками,

где q v - объемная плотность внутренних источников теплоты, Вт/м 3 .

Тепловой поток, поступающий в объем теплопроводностью, разделим на три составляющих соответственно направлению осей координат: Через противоположные грани теплота будет

отводиться в количестве соответственно Разница между количеством подведенной и отведенной теплоты эквивалентна изменению внутренней энергии вследствие теплопроводности dQ v Представим эту величину как сумму составляющих по осям координат:

Тогда в направлении оси х имеем

Поскольку -

плотности тепловых потоков на поотивоположных гоанях.

Функция q x+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:

Ограничиваясь двумя первыми членами ряда и подставляя в (14.6), получаем

Аналогичным образом получаем:

После подстановки (14.8)-(14.10) в (14.4) имеем

Подставляя (14.2), (14.3) и (14.11) в (14.1), получаем дифференциальное уравнение переноса теплоты теплопроводностью с учетом внутренних источников:

Согласно закону теплопроводности Фурье записываем выражения для проекций на оси координат плотности теплового потока:

где Х х, Х у, X z - коэффициенты теплопроводности в направлении координатных осей (тело анизотропное).

Подставляя эти выражения в (14.12), получаем

Уравнение (14.13) называют дифференциальным уравнением теплопроводности для анизотропных тел с независимыми от температуры физическими свойствами.

Если принять X = const, а тело изотропным, уравнение теплопроводности принимает вид

Здесь а = Х/(ср), м 2 /с, - коэффициент температуропроводности,

который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в процессах нагревания или охлаждения. Тела, выполненные из вещества с большим коэффициентом температуропроводности, при прочих равных условиях нагреваются и охлаждаются быстрее.

В цилиндрической системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности для изотропного тела с постоянными физическими свойствами имеет вид

где г, z, Ф - соответственно радиальная, осевая и угловая координаты.

Уравнения (14.13), (14.14) и (14.15) описывают процесс теплопроводности в самом общем виде. Конкретные задачи отличаются условиями однозначности , т.е. описанием особенностей протекания рассматриваемого процесса.

Условия однозначности. Исходя из физических представлений о теплопроводности можно выделить факторы, влияющие на процесс: физические свойства вещества; размеры и форма тела; начальное распределение температуры; условия теплообмена на поверхности (границе) тела. Таким образом, условия однозначности подразделяются на физические, геометрические, начальные и граничные (краевые).

Физическими условиями задаются физические параметры вещества X, с, р и распределение внутренних источников.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Начальными условиями задается распределение температуры в теле в начальный момент времени t = /(х, у, z ) при т = 0. Начальные условия имеют значение при рассмотрении нестационарных процессов.

В зависимости от характера теплообмена на границе тела граничные (краевые) условия подразделяются на четыре рода.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности t n в течение процесса

В частном случае температура поверхности может оставаться постоянной (/ п = const).

Граничные условия первого рода имеют место, например, при контактном нагреве в процессах склеивания фанеры, прессования древесно-стружечных и древесно-волокнистых плит и т.п.

Граничные условия второго рода. Задается распределение значений плотности теплового потока на поверхности тела в течение процесса

В частном случае тепловой поток на поверхности может оставаться постоянным (

Граничные условия третьего рода соответствуют конвективному теплообмену на поверхности. При этих условиях должна задаваться температура жидкости, в которой находится тело, Г ж = /(т), и коэффициент теплоотдачи ос. В общем случае коэффициент теплоотдачи - переменная величина, поэтому должен задаваться закон его изменения а =/(т). Возможен частный случай: / ж = const; а = const.

Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена тел с различными коэффициентами теплопроводности при их идеальном контакте, когда теплота передается теплопроводностью и тепловые потоки по разные стороны поверхности контакта равны:

Принятые физические допущения, уравнение, выведенное при этих допущениях, и условия однозначности составляют аналитическое описание (математическую модель) процессов теплопроводности. Успех использования полученной модели для решения конкретной задачи будет зависеть от того, насколько принятые допущения и условия однозначности адекватны реальным условиям.

Уравнения (14.14) и (14.15) решаются достаточно просто аналитически для одномерного стационарного теплового режима. Решения рассмотрены ниже. Для двумерных и трехмерных стационарных процессов применяются приближенные численные методы

Для решения уравнений (14.13)-(14.15) в условиях нестационарного теплового режима используется ряд методов, рассмотренных подробно в специальной литературе . Известны точные и приближенные аналитические методы, численные методы и др.

Численное решение уравнения теплопроводности осуществляется в основном методом конечных разностей . Выбор того или иного метода решения зависит от условий задачи. В результате решения аналитическими методами получают формулы, применимые для решения круга инженерных задач в соответствующих условиях. Численные методы дают возможность получить температурное поле t=f(x, у, z, т) в виде набора дискретных значений температуры в различных точках в фиксированные моменты времени для конкретной задачи. Поэтому использование аналитических методов предпочтительно, однако это не всегда возможно для многомерных задач и сложных граничных условий.

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:

1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ ;

2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль осиОХ ;

3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х ] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х ] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U , вычисляется по формуле: ∆Q=CρS∆x∆U , где С -удельная теплоемкость материала (=количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q 1 = -kSU x (x, t)∆t , где k - коэффициент теплопроводности материала (= количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х , а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U x < 0 . Следовательно, чтобыQ 1 был положительным, в формуле стоит знак минус.

Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q 2 = -kSU x (x +∆x,t)∆t .

Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t .

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

U t =a 2 U xx ,

где - коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t) , получится неоднородное уравнение теплопроводности

U t = a 2 U xx + f(x,t) ,
где .

Начальные условия и граничные условия.

Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U| t=0 = φ(х) (или в другой записиU(x,0) = φ(х) ) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х) . Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.

Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g 1 (t) ≡ Т 1 и g 2 (t) ≡ Т 2 , где Т 1 и Т 2 - постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т 1 = Т 2 = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g 1 (t) = g 2 (t) = 0 , то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условиятретьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:

Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h 1 > 0 - коэффициент теплообмена с окружающей средой, g 1 (t) - температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:

Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ 2 может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.

Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h 1 , очень большой.

Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:

Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Найти решение уравнения

U t = U xx , 00,

удолетворяющее граничным условиям

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0 ,

и начальному условию

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1 . Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t) .

Найдем частные производные:

Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:

По основной лемме получим

Отсюда следует

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.

Собственные значения равны

Собственные функции равны (См. решение задачи)

Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):

В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация

также будет решением этого уравнения, причем функция U(x,t) удолетворяет и граничным условиям (16).

Шаг 5. Определим коэффициенты A n в (19), используя начальное условие (17):

Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам

Похожая информация.