23. Барометрическая формула. Распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле.

закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова

Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмос­ферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту: Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормаль­ным, то выражение (45.2) может быть записано в виде

где р - давление на высоте h.

Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользоваться вы­ражением (42.6) p = nkT :

где n – концентрация молекул на высоте h , n 0 – то же, на высоте h = 0. Так как M= m 0 N A (N A – постоянная Авогадро, т 0 – масса одной молекулы), a R = kN A , то

где m 0 gh =П - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциаль­ного поля. Из вето следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом вне­шнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

24. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Число степеней свободы. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул.

На среднюю кинетическую энергию молекулы, имеющей i-степеней свободы, приходится Это есть закон Больцмана о равномерном распределении средней кинетической энергии по степеням свободы. Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов) совершающих как поступательное, так и вращательное движения. При движении точки по прямой линии для оценки ее положения необходимо знать одну координату, т.е. точка имеет одну степень свободы. Если точка движения по плоскости, ее положение характеризуется двумя координатами; при этом точка обладает двумя степенями свободы. Положение точки в пространстве определяется 3 координатами. Число степеней свободы обычно обозначают буквой i. Молекулы, которые состоят из обычного атома, считаются материальными точками и имеют три степени свободы (аргон, гелий). Средняя кинетическая энергия молекул газа (в расчете на одну молекулу) определяется выражениемКинетическая энергия поступательного движения атомов и молекул, усредненная по огромному числу беспорядочно движущихся частиц, является мерилом того, что называется температурой. Если температура T измеряется в градусах Кельвина (К), то связь ее с Ek дается соотношениемИз уравнений (6) и (7) можно определить значение средне-квадратичной скорости молекулВнутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Отсюда вытекает закон Джоуля, подтверждаемый многочисленными экспериментами. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от объема Молекулярно-кинетическая теория приводит к следующему выражению для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение:Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия U тела зависит наряду с температурой T также и от объема V: U = U (T, V). Принято говорить, что внутренняя энергия является функцией состояния.

Заменив в Барометрической формуле p через nkT получим закон изменения концентрации газа с высотой:

Где n 0 – концентрация газа на высоте h=0

Преобразуем, заменив M/R равным ему отношению m 0 /k

Где m 0 - масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана

С уменьшением температуры концентрации газа на высотах отличных от нуля, убывает, обращаясь в ноль при температуре T=0

При абсолютном нуле все молекулы воздуха расположились бы на земной поверхности.

При больших температурах наоборот концентрация слабо уменьшается с высотой.

Распределение молекул газа получается в результате действия двух «конкурирующих» тенденций: 1. притяжение к земле, 2. тепловое движение

На разной высоте молекула обладает разной потенциальной энергией => распределение молекул газа по высоте, является в тоже время распределением их по значениям потенциальной энергии.

Таким образом получаем:

Из этого => что молекулы располагаются с большей концентрацией (плотностью) тела, где их потенциальная энергия меньше, и наоборот, с меньшей плотностью в местах, где их потенциальная энергия больше.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул .

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул .

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости , и если - среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

Для определения представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:

где n - концентрация молекул, V = pd2 - средняя скорость молекулы или путь, пройденным ею за 1 с). Таким образом, среднее число столкновений

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p - давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 - давление на нулевом уровне (h = h 0), M - молярная масса газа, R - газовая постоянная, T - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M - молярная масса газа, R - газовая постоянная.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT . Чем выше температура T , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов предполагается, что молекулы распределены по объему равномерно. Это возможно только при отсутствии внешних сил. На самом деле в земных условиях молекулы испытывают на себе действие поля тяжести, т. е. находятся во внешнем потенциальном поле. В результате действия двух факторов, поля тяжести и теплового движения, в газе устанавливается некоторое распределение молекул по высоте.

Найдем закон, описывающий зависимость давления газа от высоты над поверхностью земли. Известно, что гидростатическое давление жидкости на глубине h равно

где - плотность жидкости. Поскольку жидкости мало сжимаемы, можно считать их плотность практически независящей от глубины. Газы, в отличие от жидкостей, довольно легко сжимаемы, поэтому их плотность существенно зависит от высоты. Но и для газов можно пользоваться подобной формулой, если перепад высот небольшой. Предполагая, что высота h точки наблюдения от поверхности земли получила элементарное приращение dh, получим приращение давления

.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева выразим плотность

.

, .

Интегрируя в предположении, что температура не зависит от высоты, получим так называемую барометрическую формулу :

,

где p 0 , p - давление у поверхности земли и на высоте h соответственно.

Аналогичная формула получается для зависимости концентрации молекул от высоты. Т.к. n~p, получаем, что

.

Показатель экспоненты можно представить в виде

,

где - потенциальная энергия молекулы в поле тяжести Земли. Используя это выражение, получим, что

.

Больцман показал, что эта формула является универсальной, описывающей распределение частиц по значениям потенциальной энергии в любом внешнем потенциальном поле. Это соотношение называют законом распределения Больцмана .

Средняя длина свободного пробега молекул.

Длина свободного пробега молекулы - это среднее расстояние (обозначаемое ), которое частица пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего.

Длина свободного пробега каждой молекулы различна, поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега (<λ>). Величина <λ> является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

Формула

Где - эффективное сечение молекулы, - концентрация молекул.

Явления переноса в газах.

• Распространение молекул примеси в газе от источника называется диффузией .

В состоянии равновесия температура Т и концентрация n во всех точках системы одинакова. При отклонении плотности от равновесного значения в некоторой части системы возникает движение компонент вещества в направлениях, приводящих к выравниванию концентрации по всему объему системы. Связанный с этим движением перенос вещества обусловлен диффузией . Диффузионный поток будет пропорционален градиенту концентрации:

• Если какое-либо тело движется в газе, то оно сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны, тело тоже будет испытывать соударения со стороны молекул, и получать собственный импульс, но направленный в противоположную сторону. Газ ускоряется, тело тормозится, то есть на тело действуют силы трения. Такая же сила трения будет действовать и между двумя соседними слоями газа, движущимися с разными скоростями. Это явление носит название внутреннее трение или вязкость газа , причём сила трения пропорциональна градиенту скорости:

• В состоянии равновесия в среде, содержащей заряженные частицы, потенциал электрического поля в каждой точке соответствует минимуму энергии системы. При наложении внешнего электрического поля возникает неравновесное движение электрических зарядов в таком направлении, чтобы минимизировать энергию системы в новых условиях. Связанный с этим движением перенос электрического заряда называется электропроводностью , а само направленное движение зарядов - электрическим током.

В процессе диффузии при теплопроводности и электропроводности происходит перенос вещества, а при внутреннем трении – перенос энергии. В основе этих явлений лежит один и тот же механизм – хаотическое движение молекул. Общность механизма, обуславливающего все эти явления переноса, приводит к тому, что их закономерности должны быть похожи друг на друга.

Некоторые представления о распределении молекул сразу же следуют из хаотичности теплового движения. Это относится к распределению молекул по направлениям скоростей или к распределению молекул по объему для случая, когда на газ не действуют какие-либо силы. Однако имеется множество случаев, для которых заранее не очевидны следствия допущения о хаотичности теплового движения.

Прежде всего, возникает вопрос о распределении молекул по величинам скоростей. Каков процент быстрых, средних по скорости, медленных молекул? Далее, может встать задача: найти, как изменится равномерное распределение молекул по плотностям при внесении газа в поле сил, скажем, в поле тяжести, или в электрическое или магнитное поле, если молекулы обладают электрическими или магнитными свойствами. На эти и подобные вопрось! отвечает закон

Больдмана, который можно вывести, используя аппарат теории вероятностей.

Рассмотрим небольшой объем пространства - кубик со сторонами построенный в точке Пусть в этом кубике находится значительное число молекул. Среди них мы отберем те, которые имеют компоненты скорости, лежащие в пределах от до от и от до Величины таковы, чтобы в указанном интервале скоростей находилось большое количество молекул. Это нужно для того, чтобы к этим малым объемам можно было применять законы статистической физики (физически бесконечно малые объемы). В дальнейшем будем говорить о таких молекулах, что они обладают координатами около и скоростями около Еще раз подчеркнем, что говорить о количестве молекул, обладающих точно заданной скоростью, нельзя, так как вероятность встретить такую молекулу бесконечно мала. Так как кинетическая энергия молекулы определяется значением скорости, а потенциальная энергия молекулы во внешнем поле зависит от координат молекулы в пространстве, то все выделенные нами молекулы имеют практически одну и ту же энергию

Закон Больцмана, обоснование которого следует искать в курсах теоретической физики, дает общее выражение для числа молекул, обладающих координатами около и скоростями около это число равно

здесь А - постоянная, которая может быть найдена для конкретной задачи, абсолютная температура постоянная Больцмана.

Энергия, входящая в экспоненту, является суммой кинетической энергии поступательного движения молекулы и ее потенциальной энергии во внешнем поле: Поэтому

Формула распространяется и на случай, когда молекула обладает и другими формами энергии, например вращательной или колебательной. Тогда эти составляющие энергии надо внести в

Закон Больцмана, или, как еще говорят, распределение Больцмана, показывает, что наибольшей энергии соответствует наименьшее число частиц, скорости и координаты которых лежат в заданном интервале.

Закон Больцмана мы применим для решения двух важных вопросов, касающихся распределения частиц с высотой и распределения молекул по скоростям.