Определение
Параболой называется график квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0$.
График функции $y = x^2$.
Для схематичного построения графика функции $y = x^2$ найдем несколько точек, удовлетворяющих этому равенству. Для удобства запишем координаты этих точек в виде таблицы:
График функции $y = ax^2$.
Если коэффициент $a > 0$, то график $y = ax^2$ получается из графика $y = x^2$ либо вертикальным растяжением (при $a > 1$), либо сжатием к оси $x$ (при $0 < a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = 2x^2$ | $y = \dfrac{x^2}{2}$ |
|
|
Если же $a < 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = - x^2$ | $y = -2x^2$ | $y = - \dfrac{x^2}{2}$ |
|
|
|
График квадратичной функции.
Для построения графика функции $y = ax^2 + bx + c$ нужно выделить из квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ полный квадрат, то есть представить его в виде $a(x - x_0)^2 + y_0$. График функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ получается из соответствующего графика $y = ax^2$ смещением на $x_0$ вдоль оси $x$, и на $y_0$ вдоль оси $y$. В итоге точка $(0;0)$ переместится в точку $(x_0;y_0)$.
Определение
Вершиной параболы $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ называется точка с координатами $(x_0;y_0)$.
Построим параболу $y = 2x^2 - 4x - 6$. Выделив полный квадрат, получим $y = 2(x - 1)^2 - 8$.
| Построим график $y = 2x^2$ | Сместим его вправо на 1 | И вниз на 8 |
|
|
|
В итоге получилась парабола с вершиной в точке $(1;-8)$.
График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $y$ в точке $(0; c)$ и ось $x$ в точках $(x_{1,2};0)$, где $x_{1,2}$ - корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при этом если корней у уравнения нет, то соответствующая парабола не пересекает оси $x$).
Например, парабола $y = 2x^2 - 4x - 6$ пересекает оси в точках $(0; -6)$, $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.