Теория
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения ; проекции ускорения на координатные оси равны а х = 0, а у = -g.
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
,
где – начальная скорость, α – угол бросания.
Координаты тела, следовательно, изменяются так:
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) Тогда
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t 0 . Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
| . | (3) |
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.
Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:
(1)
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?
$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$
Закон движения тела имеет вид:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$
Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,
\ \ \
С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:
Закон движения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \
Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:
До конца финального матча баскетбольного турнира Олимпиады в Мюнхене 1972-ого года оставалось 3 секунды. Американцы – сборная США — уже во всю праздновали победу! Наша команда – сборная СССР – выигрывала около 10-и очков у великой dream Team...
За несколько минут до окончания матча. Но, растеряв в концовке все преимущество, уже уступала одно очко 49:50. Дальше произошло невероятное! Иван Едешко бросает мяч из-за лицевой линии через всю площадку под кольцо американцев, где наш центровой Александр Белов принимает мяч в окружении двух соперников и вкладывает его в корзину. 51:50 – мы олимпийские чемпионы!!!
Я, будучи тогда ребенком, испытал сильнейшие эмоции – сначала разочарование и обиду, затем сумасшедший восторг! Эмоциональная память об этом эпизоде врезалась в мое сознание на всю жизнь! Посмотрите видео в Интернете по запросу «золотой бросок Александра Белова», не пожалеете.
Американцы тогда не признали поражения и отказались от получения серебряных медалей. Возможно ли за три секунды сделать то, что совершили наши игроки? Вспомним физику!
В этой статье мы рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту, составим в Excel программу решения этой задачи при различных сочетаниях исходных данных и попытаемся ответить на поставленный выше вопрос.
Это достаточно широко известная задача в физике. В нашем случае тело, брошенное под углом к горизонту – это баскетбольный мяч. Мы рассчитаем начальную скорость, время и траекторию полета мяча, брошенного через всю площадку Иваном Едешко и попавшего в руки Александра Белова.
Математика и физика полета баскетбольного мяча.
Представленные ниже формулы и расчет в excel являются универсальными для широкого круга задач о телах, брошенных под углом к горизонту и летящих по параболической траектории без учета влияния трения о воздух.
Расчетная схема представлена на рисунке, расположенном ниже. Запускаем программу MS Excel или OOo Calc.
Исходные данные:
1. Так как мы находимся на планете Земля и рассматриваем баллистическую задачу – движение тел в поле тяжести Земли, то первым делом запишем основную характеристику гравитационного поля – ускорение свободного падения g в м/с 2
в ячейку D3: 9,81
2. Размеры баскетбольной площадки – 28 метров длина и 15 метров ширина. Расстояние полета мяча почти через всю площадку до кольца от противоположной лицевой линии по горизонтали x в метрах впишем
в ячейку D4: 27,000
3. Если принять, что бросок Едешко совершил с высоты около двух метров, а Белов поймал мяч как раз где-то на уровне кольца, то при высоте баскетбольного кольца 3,05 метра расстояние между точками вылета и прилета мяча составит по вертикали 1 метр. Запишем вертикальное перемещение y в метрах
в ячейку D5: 1,000
4. По моим замерам на видеозаписи угол вылета мяча α 0 из рук Едешко не превышал 20°. Введем это значение
в ячейку D6: 20,000
Результаты расчетов:
Основные уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха:
x =v 0 *cosα 0 *t
y =v 0 *sinα 0 *t -g *t 2 /2
5. Выразим время t из первого уравнения, подставим во второе и вычислим начальную скорость полета мяча v 0 в м/с
в ячейке D8: =(D3*D4^2/2/COS (РАДИАНЫ(D6))^2/(D4*TAN (РАДИАНЫ (D6)) -D5))^0,5 =21,418
v 0 =(g *x 2 /(2*(cos α 0 ) 2 *(x *tg α 0 -y )) 0,5
6. Время полета мяча от рук Едешко до рук Белова t в секундах рассчитаем, зная теперь v 0 , из первого уравнения
в ячейке D9: =D4/D8/COS (РАДИАНЫ(D6)) =1,342
t = x /(v 0 * cos α 0 )
7. Найдем угол направления скорости полета мяча α i в интересующей нас точке траектории. Для этого исходную пару уравнений запишем в следующем виде:
y =x *tg α 0 -g *x 2 /(2* v 0 2 *(cos α 0 ) 2)
Это уравнение параболы – траектории полета.
Нам необходимо найти угол наклона касательной к параболе в интересующей нас точке – это и будет угол α i . Для этого возьмем производную, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной:
y’ =tg α 0 -g *x /(v 0 2 *(cos α 0 ) 2)
Рассчитаем угол прилета мяча в руки Белова α i в градусах
в ячейке D10: =ATAN (TAN (РАДИАНЫ(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДИАНЫ (D6))^2)/ПИ()*180 =-16,167
α i = arctg y ’ = arctg (tg α 0 — g * x /(v 0 2 *(cos α 0 ) 2))
Расчет в excel, в принципе, закончен.
Иные варианты расчетов:
Используя написанную программу, можно быстро и просто при других сочетаниях исходных данных произвести вычисления.
Пусть, даны горизонтальная x = 27 метров, вертикальная y = 1 метр дальности полета и начальная скорость v 0 = 25 м/с.
Требуется найти время полета t и углы вылета α 0 и прилета α i
Воспользуемся сервисом MS Excel «Подбор параметра». Я неоднократно в нескольких статьях блога подробно рассказывал, как им пользоваться. Детальнее об использовании этого сервиса можно почитать .
Устанавливаем в ячейке D8 значение 25,000 за счет изменения подбором значения в ячейке D6. Результат на рисунке внизу.
Исходные данные в этом варианте расчета в excel (как, впрочем, и в предыдущем) выделены синими рамками, а результаты обведены красными прямоугольными рамками!
Устанавливая в таблице Excel некоторое интересующее значение в одной из ячеек со светло-желтой заливкой за счет подбора измененного значения в одной из ячеек со светло-бирюзовой заливкой, можно получить в общем случае десять различных вариантов решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту при десяти разных наборах исходных данных!!!
Ответ на вопрос:
Ответим на вопрос, поставленный в начале статьи. Мяч, посланный Иваном Едешко, долетел до Белова по нашим расчетам за 1,342с. Александр Белов поймал мяч, приземлился, подпрыгнул и бросил. На все это у него было «море» времени – 1,658с! Это действительно достаточное с запасом количество времени! Детальный просмотр по кадрам видеозаписи подтверждает вышесказанное. Нашим игрокам хватило трех секунд, чтобы доставить мяч от своей лицевой линии до щита соперников и забросить его в кольцо, вписав золотом свои имена в историю баскетбола!
Прошу уважающих труд автора скачивать файл после подписки на анонсы статей!
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.
Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:
(1)
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?
$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$
Закон движения тела имеет вид:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$
Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,
\ \ \
С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:
Закон движения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \
Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:
Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью \(~\vec \upsilon_0\). Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy (рис. 1). Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Oy и Ox \[~\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Проекции ускорения: g x = 0; g y = -g .
Тогда движение тела будет описываться уравнениями:
\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \alpha t - \frac{gt^2}{2}; \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)
Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно со скоростью \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), а в вертикальном - равноускоренно.
Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы υ y = 0, можно найти время t 1 подъема тела до верхней точки параболы:
\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}. \qquad (5)\)
Подставив значение t 1 в уравнение (3), найдем максимальную высоту подъема тела:
\(~h_{max} = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g} - \frac{g}{2} \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{g^2},\) \(~h_{max} = \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{2g}\) - максимальная высота подъема тела.
Время полета тела находим из условия, что при t = t 2 координата y 2 = 0. Следовательно, \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac{gt^2_2}{2} = 0\). Отсюда, \(~t_1 = \frac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g}\) - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (5), видим, что t 2 = 2 t 1 . Время движения тела с максимальной высоты t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты x (1) значение времени t 2 , найдем:
\(~l = \frac{2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha}{g} = \frac{\upsilon^2_0 \sin 2\alpha}{g}\) - дальность полета тела.
Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 1). модуль скорости определяется по формуле
\(~\upsilon = \sqrt{\upsilon^2_x + \upsilon^2_y} = \sqrt{\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)} = \sqrt{\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2} .\)
Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 16-17.