Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.
Можно
легко показать, что параметры
и
,
входящие в плотность распределения
являются соответственно математическим
ожиданием и среднеквадратическим
отклонением случайной величиныХ
.
Найдём функцию распределения F (x ) .
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1) Функция определена на всей числовой оси.
2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х , значение функции стремится к нулю.
4) Найдём экстремум функции.
Т.к.
при y
’
> 0
при x
<
m
и y
’
< 0
при x
>
m
, то в точке х
= т
функция
имеет максимум, равный
.
5) Функция является симметричной относительно прямой х = а , т.к. разность
(х – а ) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.
При x = m + и x = m - вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.
В
этих точках значение функции равно
.
Построим график функции плотности распределения (рис. 5).
Построены графики при т =0 и трёх возможных значениях среднеквадратичного отклонения = 1, = 2 и = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.
Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.
При а = 0 и = 1 кривая называется нормированной . Уравнение нормированной кривой:
Функция Лапласа
Найдём вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.
Обозначим
Т.к.
интеграл
не выражается через элементарные
функции, то вводится в рассмотрение
функция
,
которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей .
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.
На рис. 6 показан график функции Лапласа.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1) Ф(0) = 0;
2) Ф(-х) = - Ф(х);
3) Ф( ) = 1.
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x .
Ещё используетсянормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:
На рис. 7 показан график нормированной функции Лапласа.
Правило трёх сигм
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трёх сигм .
Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины :
Если принять = 3, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:
Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.
Это правило называется правилом трёх сигм .
Не практике считается, что если для какой-либо случайной величины выполняется правило трёх сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.
Заключение по лекции:
В лекции мы рассмотрели законы распределения непрерывных величин В ходе подготовки к последующей лекции и практическим занятиям вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.
) играет осо-бо важную роль в теории вероятностей и чаще других применяется в решении практических задач. Его главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются дру-гие законы распределения при весьма часто встречающихся типич-ных условиях. Например, сумма достаточно большого числа неза-висимых (или слабо зависимых) случайных величин приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем больше случайных величин суммируется.
Экспериментально доказано, что нормальному закону под-чиняются погрешности измерений, отклонения геометрических размеров и положения элементов строительных конструкций при их изготовлении и монтаже, изменчивость физико-механических характеристик материалов и нагру-зок, действующих на строительные конструкции.
Распределению Гаусса подчи-няются почти все случайные вели-чины, отклонение которых от сред-них значений вызывается большой совокупностью случайных факто-ров, каждый из которых в отдельности незначителен (центральная предельная теорема).
Нормальным распределением называется распределение случайной непрерывной величины, для которых плотность вероят-ностей имеет вид (рис. 18.1).
Рис. 18.1. Нормальный закон распределения при а 1 < a 2 .
| (18.1) |
где а и — параметры распределения.
Вероятностные характеристики случайной величины, распре-деленной по нормальному закону, равны:
Математическое ожидание (18.2)
Дисперсия (18.3)
Среднеквадратичное отклонение (18.4)
Коэффициент асимметрии А = 0 (18.5)
Эксцесс Е = 0. (18.6)
Параметр σ, входящий в распределение Гаусса равен сред-неквадратичному отношению слу-чайной величины. Величина а оп-ределяет положение центра рас-пределения (см. рис. 18.1), а величина а — ширину распределе-ния (рис. 18.2), т.е. статистический разброс вокруг средней величины.
Рис. 18.2. Нормальный закон распределения при σ 1 < σ 2 < σ 3
Вероятность попадания в заданный интервал (от x 1 до x 2) для нормального распределения, как и во всех случаях, определяется интегралом от плотности вероятности (18.1), который не выража-ется через элементарные функции и представляется специальной функцией, называется функцией Лапласа (интеграл вероятностей).
Одно из представлений интеграла вероятностей:
Величина и называется квантилем.
Видно, что Ф(х) — нечетная функция, т. е. Ф(-х) = -Ф(х). Значения этой функции вычислены и представлены в виде таблиц в технической и учебной литературе.
Функция распределения нормального закона (рис. 18.3) может быть выражена через ин-теграл вероятностей:
Рис. 18.2. Функция нормального закона распределения.
Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал от х. до х, определяется выра-жением:
Следует заметить, что
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
При решении практических задач, связанных с распределе-нием, часто приходится рассматривать вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания, если длина этого интервала т.е. если сам интервал имеет грани-цу от до , имеем:
При решении практических задач границы отклонений слу-чайных величин выражаются через стандарт, среднеквадратичное отклонение, умноженное на некоторый множитель, определяющий границы области отклонений случайной величины.
Принимая и а также используя формулу (18.10) и таблицу Ф(х) (приложение № 1), получим
Эти формулы показывают , что если случайная величина име-ет нормальное распределение, то вероятность ее отклонения от сво-его среднего значения не более чем на σ составляет 68,27 %, не бо-лее чем на 2σ — 95,45 % и не более чем на Зσ — 99,73 %.
Поскольку величина 0,9973 близка к единице, практически считается невозможным отклонение нормального распределения случайной величины от математического ожидания более чем на Зσ. Это правило, справедливое только для нормального распределения, называется правилом трех сигм. Нарушение его имеет вероятность Р = 1 - 0,9973 = 0,0027. Этим правилом пользуются при установле-нии границ допустимых отклонений допусков геометрических ха-рактеристик изделий и конструкций.
Примерами случайных величин, распределённых по нормальному закону, являются рост человека, масса вылавливаемой рыбы одного вида . Нормальность распределения означает следующее : существуют значения роста человека, массы рыбы одного вида, которые на интуитивном уровне воспринимаются как "нормальные" (а по сути - усреднённые), и они-то в достаточно большой выборке встречаются гораздо чаще, чем отличающиеся в бОльшую или меньшую сторону.
Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины (иногда - распределение Гаусса) можно назвать колоколообразным из-за того, что симметричная относительно среднего функция плотности этого распределения очень похожа на разрез колокола (красная кривая на рисунке выше).
Вероятность встретить в выборке те или иные значение равна площади фигуры под кривой и в случае нормального распределения мы видим, что под верхом "колокола", которому соответствуют значения, стремящиеся к среднему, площадь, а значит, вероятность, больше, чем под краями. Таким образом, получаем то же, что уже сказано: вероятность встретить человека "нормального" роста, поймать рыбу "нормальной" массы выше, чем для значений, отличающихся в бОльшую или меньшую сторону. В очень многих случаях практики ошибки измерения распределяются по закону, близкому к нормальному.
Остановимся ещё раз на рисунке в начале урока, на котором представлена функция плотности нормального распределения. График этой функции получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA . На ней столбцы гистограммы представляют собой интервалы значений выборки, распределение которых близко (или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от) к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета. На графике видно, что эта кривая действительно колоколообразная.
Нормальное распределение во многом ценно благодаря тому, что зная только математическое ожидание непрерывной случайной величины и стандартное отклонение, можно вычислить любую вероятность, связанную с этой величиной.
Нормальное распределение имеет ещё и то преимущество, что один из наиболее простых в использовании статистических критериев, используемых для проверки статистических гипотез - критерий Стьюдента - может быть использован только в том случае, когда данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.
Функцию плотности нормального распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле:
,
где x - значение изменяющейся величины, - среднее значение, - стандартное отклонение, e =2,71828... - основание натурального логарифма, =3,1416...
Свойства функции плотности нормального распределения
Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox . Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево.
Если меняется стандартное отклонение, то меняется высота вершины кривой. При увеличении стандартного отклонения вершина кривой находится выше, при уменьшении - ниже.
Вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в заданный интервал
Уже в этом параграфе начнём решать практические задачи, смысл которых обозначен в заголовке. Разберём, какие возможности для решения задач предоставляет теория. Отправное понятие для вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал - интегральная функция нормального распределения.
Интегральная функция нормального распределения :
.
Однако проблематично получить таблицы для каждой возможной комбинации среднего и стандартного отклонения. Поэтому одним из простых способов вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал является использование таблиц вероятностей для стандартизированного нормального распределения.
Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение , среднее значение которого , а стандартное отклонение .
Функция плотности стандартизованного нормального распределения :
.
Интегральная функция стандартизованного нормального распределения :
.
На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA . Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему.
Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.
Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле
На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s . Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений.
Открытый интервал
Таблица вероятностей для стандартизированного нормального распределения, которая есть практически в любой книге по статистике, содержит вероятности того, что имеющая стандартное нормальное распределение случайная величина Z примет значение меньше некоторого числа z . То есть попадёт в открытый интервал от минус бесконечности до z . Например, вероятность того, что величина Z меньше 1,5, равна 0,93319.
Пример 1. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов.
Для случайно отобранной детали вычислить вероятность того, что её срок службы будет не менее 900 часов.
Решение. Введём первое обозначение:
Искомая вероятность.
Значения случайной величины находятся в открытом интервале. Но мы умеем вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, а по условию задачи требуется найти равное или большее заданного. Это другая часть пространства под кривой плотности нормального распределения (колокола). Поэтому, чтобы найти искомую вероятность, нужно из единицы вычесть упомянутую вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного 900:
Теперь случайную величину нужно стандартизировать.
Продолжаем вводить обозначения:
z = (X ≤ 900) ;
x = 900 - заданное значение случайной величины;
μ = 1000 - среднее значение;
σ = 200 - стандартное отклонение.
По этим данным условия задачи получаем:
.
По таблицам стандартизированной случайной величине (границе интервала) z = −0,5 соответствует вероятность 0,30854. Вычтем ее из единицы и получим то, что требуется в условии задачи:
Итак, вероятность того, что срок службы детали будет не менее 900 часов, составляет 69%.
Эту вероятность можно получить, используя функцию MS Excel НОРМ.РАСП (значение интегральной величины - 1):
P (X ≥900) = 1 - P (X ≤900) = 1 - НОРМ.РАСП(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
О расчётах в MS Excel - в одном из последующих параграфах этого урока.
Пример 2. В некотором городе среднегодовой доход семьи является нормально распределённой случайной величиной со средним значением 300000 и стандартным отклонением 50000. Известно, что доходы 40 % семей меньше величины A . Найти величину A .
Решение. В этой задаче 40 % - ни что иное, как вероятность того, что случайная величина примет значение из открытого интервала, меньшее определённого значения, обозначенного буквой A .
Чтобы найти величину A , сначала составим интегральную функцию:
По условию задачи
μ = 300000 - среднее значение;
σ = 50000 - стандартное отклонение;
x = A - величина, которую нужно найти.
Составляем равенство
.
По статистическим таблицам находим, что вероятность 0,40 соответствует значению границы интервала z = −0,25 .
Поэтому составляем равенство
и находим его решение:
A = 287300 .
Ответ: доходы 40 % семей менее 287300.
Закрытый интервал
Во многих задачах требуется найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина примет значение в интервале от z 1 до z 2 . То есть попадёт в закрытый интервал. Для решения таких задач необходимо найти в таблице вероятности, соответствующие границам интервала, а затем найти разность этих вероятностей. При этом требуется вычитать меньшее значение из большего. Примеры на решения этих распространённых задач - следующие, причём решить их предлагается самостоятельно, а затем можно посмотреть правильные решения и ответы.
Пример 3. Прибыль предприятия за некоторый период - случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения со средним значением 0,5 млн. у.е. и стандартным отклонением 0,354. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность того, что прибыль предприятия составит от 0,4 до 0,6 у.е.
Пример 4. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами μ =10 и σ =0,071 . Найти с точностью до двух знаков после запятой вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10±0,05 .
Подсказка: в этой задаче помимо нахождения вероятности попадания случайной величины в закрытый интервал (вероятность получения небракованной детали) требуется выполнить ещё одно действие.
позволяет определить вероятность того, что стандартизованное значение Z не меньше -z и не больше +z , где z - произвольно выбранное значение стандартизованной случайной величины.
Приближенный метод проверки нормальности распределения
Приближенный метод проверки нормальности распределения значений выборки основан на следующем свойстве нормального распределения: коэффициент асимметрии β 1 и коэффициент эксцесса β 2 равны нулю .
Коэффициент асимметрии β 1 численно характеризует симметрию эмпирического распределения относительно среднего. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то среднее арифметрического значение, медиана и мода равны: и кривая плотности распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии меньше нуля (β 1 < 0 ), то среднее арифметическое меньше медианы, а медиана, в свою очередь, меньше моды () и кривая сдвинута вправо (по сравнению с нормальным распределением) . Если коэффициент асимметрии больше нуля (β 1 > 0 ), то среднее арифметическое больше медианы, а медиана, в свою очередь, больше моды () и кривая сдвинута влево (по сравнению с нормальным распределением) .
Коэффициент эксцесса β 2 характеризует концентрацию эмпирического распределения вокруг арифметического среднего в направлении оси Oy и степень островершинности кривой плотности распределения. Если коэффициент эксцесса больше нуля, то кривая более вытянута (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более островершинный). Если коэффициент эксцесса меньше нуля, то кривая более сплющена (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более туповершинный).
Коэффициент асимметрии можно вычислить с помощью функции MS Excel СКОС. Если вы проверяете один массив данных, то требуется ввести диапазон данных в одно окошко "Число".
Коэффициент эксцесса можно вычислить с помощью функции MS Excel ЭКСЦЕСС. При проверке одного массива данных также достаточно ввести диапазон данных в одно окошко "Число".
Итак, как мы уже знаем, при нормальном распределении коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Но что, если мы получили коэффициенты асимметрии, равные -0,14, 0,22, 0,43, а коэффициенты эксцесса, равные 0,17, -0,31, 0,55? Вопрос вполне справедливый, так как практически мы имеем дело лишь с приближенными, выборочными значениями асимметрии и эксцесса, которые подвержены некоторому неизбежному, неконтролируемому разбросу. Поэтому нельзя требовать строгого равенства этих коэффициентов нулю, они должны лишь быть достаточно близкими к нулю. Но что значит - достаточно?
Требуется сравнить полученные эмпирические значения с допустимыми значениями. Для этого нужно проверить следующие неравенства (сравнить значения коэффициентов по модулю с критическими значениями - границами области проверки гипотезы).
Для коэффициента асимметрии β 1 .
Краткая теория
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:
где – математическое ожидание , – среднее квадратическое отклонение .
Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :
где – функция Лапласа :
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :
В частности, при справедливо равенство:
При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин .
Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:
Пример решения задачи
На станке изготавливается деталь. Ее длина - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?
Решение:
Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :
Получаем:
Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину .
Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:
- равномерное распределение
- показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
Дадим понятие нормального закона распределения, функции распределения такого закона, порядка вычисления вероятности попадания случайной величины Х в определенный интервал.
| № | Показатель | Нормальный закон распределения | Примечание |
|---|---|---|---|
| Определение | Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид | ||
| где m x – математическое ожидание случайной величины Х, σ x – среднее квадратическое отклонение | |||
| 2 | Функция распределения |  |
|
| Вероятность попадания в интервал (а;b) |  |
 - интегральная функция Лапласа |
|
| Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ |  |
при m x = 0 |
Пример решения задачи по теме «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины»
Задача.
Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по
нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое
отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от среднего значения
не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых
от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
е) найти интервал, симметричный относительно среднего значения, в котором будет находиться X
с вероятностью 0,95.
Решение. а) Плотность вероятности случайной величины X, распределенной по нормальному закону находим :
при условии, что m x =20, σ =0,2.
б)
Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть
в интервал (19,7; 20,3) определяется :
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0,2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5)
= 2*0,4332 = 0,8664.
Значение Ф(1,5) = 0,4332 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x)
(таблица 2
)
в)
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 0,1 найдем
:
Р(|Х-20| < 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Значение Ф(0,5) = 0,1915 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x)
(таблица 2
)
г) Поскольку вероятность отклонения, меньшего 0,1 мм, равна 0,383, то отсюда следует, что в среднем 38,3 детали из 100 окажутся с таким отклонением, т.е. 38,3%.
д) Поскольку процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%, то Р(|Х-20| < δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.
Используя приложение (таблица 2 ), находим δ/σ = 0,74. Отсюда δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 мм.
е) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения m x = 20, то его можно определить как множество значений X, удовлетворяющих неравенству 20 − δ < X < 20 + δ или |x − 20| < δ .
По условию вероятность нахождения X в искомом интервале равна 0,95, значит P(|x − 20| < δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.
Используя приложение (таблица 2
), находим δ/σ = 1,96. Отсюда δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Искомый интервал
: (20 – 0,392; 20 + 0,392) или (19,608; 20,392).