Дана
квадратичная форма (2) A
(x
, x
) = ,
где x
= (x
1 , x
2 , …, x
n
).
Рассмотрим квадратичную форму в
пространстве R
3 ,
то есть x
= (x
1 ,
x
2 ,
x
3),
A
(x
,
x
) =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+
+ 2
(использовали условие симметричности
формы, а именно а
12 = а
21 ,
а
13 = а
31 ,
а
23 = а
32).
Выпишем матрицу квадратичной формы A
в базисе {e
},
A
(e
) =
.
При изменении базиса матрица квадратичной
формы меняется по формуле A
(f
) = C
t
A
(e
)C
,
где C
– матрица перехода от базиса {e
}
к базису {f
},
а C
t
– транспонированная матрица C
.
Определение 11.12. Вид квадратичной формы с диагональной матрицей называется каноническим .
Итак,
пусть A
(f
) =
,
тогда A
"(x
,
x
) =
+
+
,
где x
" 1 ,
x
" 2 ,
x
" 3
– координаты вектора x
в новом базисе {f
}.
Определение 11.13. Пусть в n V выбран такой базис f = {f 1 , f 2 , …, f n }, в котором квадратичная форма имеет вид
A
(x
, x
) =
+
+ … +
,
(3)
где y 1 , y 2 , …, y n – координаты вектора x в базисе {f }. Выражение (3) называется каноническим видом квадратичной формы. Коэффициенты 1 , λ 2 , …, λ n называются каноническими ; базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом .
Замечание . Если квадратичная форма A (x , x ) приведена к каноническому виду, то, вообще говоря, не все коэффициенты i отличны от нуля. Ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы в любом базисе.
Пусть
ранг квадратичной формы A
(x
, x
)
равен r
,
где r
≤ n
.
Матрица квадратичной формы в каноническом
виде имеет диагональный вид. A
(f
) =
,
поскольку ее ранг равен r
,
то среди коэффициентов i
должно быть r
,
не равных нулю. Отсюда следует, что число
отличных от нуля канонических коэффициентов
равно рангу квадратичной формы.
Замечание . Линейным преобразованием координат называется переход от переменных x 1 , x 2 , …, x n к переменным y 1 , y 2 , …, y n , при котором старые переменные выражаются через новые переменные с некоторыми числовыми коэффициентами.
x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,
x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,
………………………………
x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .
Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, то вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.
Теорема 11.2 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду.
Доказательство . (Метод Лагранжа) Идея этого метода состоит в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждой переменной до полного квадрата. Будем считать, что A (x , x ) ≠ 0 и в базисе e = {e 1 , e 2 , …, e n } имеет вид (2):
A
(x
,
x
) =
.
Если A (x , x ) = 0, то (a ij ) = 0, то есть форма уже каноническая. Формулу A (x , x ) можно преобразовать так, чтобы коэффициент a 11 ≠ 0. Если a 11 = 0, то коэффициент при квадрате другой переменной отличен от нуля, тогда при помощи перенумерации переменных можно добиться, чтобы a 11 ≠ 0. Перенумерация переменных является невырожденным линейным преобразованием. Если же все коэффициенты при квадратах переменных равны нулю, то нужные преобразования получаются следующим образом. Пусть, например, a 12 ≠ 0 (A (x , x ) ≠ 0, поэтому хотя бы один коэффициент a ij ≠ 0). Рассмотрим преобразование
x 1 = y 1 – y 2 ,
x 2 = y 1 + y 2 ,
x i = y i , при i = 3, 4, …, n .
Это
преобразование невырожденное, так как
определитель его матрицы отличен от
нуля
= = 2 ≠ 0.
Тогда
2a
12 x
1 x
2 = 2
a
12 (y
1 – y
2)(y
1 + y
2) = 2
– 2
,
то есть в форме A
(x
,
x
)
появятся квадраты сразу двух переменных.
A
(x
,
x
) =
+ 2
+ 2
+
. (4)
Преобразуем выделенную сумму к виду:
A
(x
,
x
) = a
11
, (5)
при этом коэффициенты a ij меняются на . Рассмотрим невырожденное преобразование
y 1 = x 1 + + … + ,
y 2 = x 2 ,
y n = x n .
Тогда получим
A
(x
,
x
) =
.
(6).
Если
квадратичная форма
= 0,
то вопрос о приведении A
(x
, x
)
к каноническому виду решен.
Если эта форма не равна нулю, то повторяем рассуждения, рассматривая преобразования координат y 2 , …, y n и не меняя при этом координату y 1 . Очевидно, что эти преобразования будут невырожденными. За конечное число шагов квадратичная форма A (x , x ) будет приведена к каноническому виду (3).
Замечание 1. Нужное преобразование исходных координат x 1 , x 2 , …, x n можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований: [x ] = A [y ], [y ] = B [z ], [z ] = C [t ], тогда [x ] = A B [z ] = A B C [t ], то есть [x ] = M [t ], где M = A B C .
Замечание
2.
Пусть
A
(x
,
x
) = A
(x
, x
) =
+
+ …+
,
где i
≠ 0,
i
= 1,
2, …, r
,
причем 1 > 0,
λ 2 > 0,
…, λ q
> 0,
λ q
+1 < 0,
…, λ r
< 0.
Рассмотрим невырожденное преобразование
y
1 = z
1 ,
y
2 = z
2 ,
…, y
q
= z
q
,
y
q
+1 =
z
q
+1 ,
…, y
r
= z
r
,
y
r
+1 = z
r
+1 ,
…, y
n
= z
n
.
В
результате A
(x
,
x
)
примет вид:
A
(x
, x
) = + + … + – – … – ,
который называется нормальным
видом квадратичной формы
.
Пример 11.1. Привести к каноническому виду квадратичную форму A (x , x ) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .
Решение . Поскольку a 11 = 0, используем преобразование
x 1 = y 1 – y 2 ,
x 2 = y 1 + y 2 ,
x 3 = y 3 .
Это
преобразование имеет матрицу A
=
,
то есть [x
] = A
[y
]
получим A
(x
,
x
) = 2(y
1 – y
2)(y
1 + y
2) – 6(y
1 + y
2)y
3 + 2y
3 (y
1 – y
2) =
2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .
Поскольку коэффициент при не равен нулю, можно выделить квадрат одного неизвестного, пусть это будет y 1 . Выделим все члены, содержащие y 1 .
A (x , x ) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .
Выполним преобразование, матрица которого равна B .
z 1 = y 1 – y 3 , y 1 = z 1 + z 3 ,
z 2 = y 2 , y 2 = z 2 ,
z 3 = y 3 ; y 3 = z 3 .
B
=
,
[y
] = B
[z
].
Получим A (x , x ) = 2– 2–– 8z 2 z 3 . Выделим члены, содержащие z 2 . Имеем A (x , x ) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.
Выполняем преобразование с матрицей C :
t 1 = z 1 , z 1 = t 1 ,
t 2 = z 2 + 2z 3 , z 2 = t 2 – 2t 3 ,
t 3 = z 3 ; z 3 = t 3 .
C
=
,
[z
] = C
[t
].
Получили: A (x , x ) = 2– 2+ 6 канонический вид квадратичной формы, при этом [x ] = A [y ], [y ] = B [z ], [z ] = C [t ], отсюда [x ] = ABC [t ];
A
B
C
=
=
.
Формулы преобразований следующие
x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,
x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,
определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица называется матрицей квадратичной формы. Здесь a 1 2 =a 2 1 . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда , где λ 1 и λ 2 – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a , причем:
а) если λ 1 >0; λ 2 >0 – эллипс, в частности, при λ 1 =λ 2 это окружность;
б) если λ 1 >0, λ 2 <0 (λ 1 <0, λ 2 >0) имеем гиперболу;
в) если λ 1 =0 либо λ 2 =0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (здесь λ 2 =0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .
Пример
. Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i
=(1,0) и j
=(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение
. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x 1 2 -2y 1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x 1 =1: x
1 =(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x
1 .
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
1 ,j
1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или
; . (*)
Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем: .
Выделяем полные квадраты : .
Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: , .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x 2 и y 2 , то получим: , . В системе координат (0*, i 1 , j 1) данное уравнение имеет вид: .
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x 2 =0 задается в старой системе координат уравнением x-y-3=0, а ось y 2 =0 уравнением x+y-1=0. Начало новой системы координат 0 * (2,-1) является точкой пересечения этих прямых.
Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:
1. Переход к системе координат с осями x 2 =0, y 2 =0, заданными в старой системе координат уравнениями x-y-3=0 и x+y-1=0 соответственно.
2. Построение в полученной системе координат графика функции.
Окончательный вариант графика выглядит следующим образом (см. Решение :Скачать решение
Задание
. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение
.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
Линейные преобразования переменных.
Понятие квадратичной формы.
Квадратичные формы.
Определение: Квадратичной формой от переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.
Переменные можно рассматривать как аффинные координаты точки арифметического пространства А n или как координаты вектора n-мерного пространства V n . Будем обозначать квадратичную форму от переменных как.
Пример 1:
Если в квадратичной форме уже выполнено приведение подобных членов, то коэффициенты при обозначаются, а при () – . Т.о., считается, что. Квадратичную форму можно записать следующим образом:
Пример 2:
Матрица системы (1):
– называется матрицей квадратичной формы.
Пример: Матрицы квадратичных форм примера 1 имеют вид:
Матрица квадратичной формы примера 2:
Линейным преобразованием переменных называют такой переход от системы переменных к системе переменных, при котором старые переменные выражаются через новые с помощью форм:
где коэффициенты образуют невырожденную матрицу.
Если переменные рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве относительно некоторого базиса, то линейное преобразование (2) можно рассматривать как переход в этом пространстве к новому базису, относительно которого этот же вектор имеет координаты.
В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы только с действительными коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают только действительные значения. Если в квадратичной форме (1) переменные подвергнуть линейному преобразованию (2), то получится квадратичная форма от новых переменных. В дальнейшем мы покажем, при надлежащем выборе преобразования (2) квадратичную форму (1) можно привести к виду, содержащему только квадраты новых переменных, т.е. . Такой вид квадратичной формы называется каноническим . Матрица квадратичной формы в таком случае диагональная: .
Если все коэффициенты могут принимать лишь одно из значений: -1,0,1 соответствующий вид называется нормальным .
Пример: Уравнение центральной кривой второго порядка с помощью перехода к новой системе координат
можно привести к виду: , а квадратичная форма в этом случае примет вид:
Лемма 1: Если квадратичная форма (1) не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования ее можно привести в форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной.
Доказательство: По условию, квадратичная форма содержит только члены с произведениями переменных. Пусть при каких-либо различных значениях i и j отличен от нуля, т.е. – один из таких членов, входящих в квадратичную форму. Если выполнить линейное преобразование, а все остальные не менять, т.е. (определитель этого преобразования отличен от нуля), то в квадратичной форме появится даже два члена с квадратами переменных: . Эти слагаемые не могут исчезнуть при приведении подобных членов, т.к. каждый из оставшихся слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную или от или от.
Пример:
Лемма 2: Если квадратная форма (1) содержит слагаемое с квадратом переменной , напримери еще хотя бы одно слагаемое с переменной , то с помощью линейного преобразования , f можно перевести в форму от переменных , имеющую вид: (2), где g – квадратичная форма, не содержащая переменной .
Доказательство: Выделим в квадратичной форме (1) сумму членов, содержащих: (3) здесь через g 1 обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих.
Обозначим
(4), где через обозначена сумма всех слагаемых, не содержащих.
Разделим обе части (4) на и вычтем полученное равенство из (3), после приведения подобных будем иметь:
Выражение в правой части не содержит переменной и является квадратичной формой от переменных. Обозначим это выражение через g, а коэффициент через, а тогда f будет равно: . Если произвести линейное преобразование: , определитель которого отличен от нуля, то g будет квадратичной формой от переменных, и квадратичная форма f будет приведена к виду (2). Лемма доказана.
Теорема: Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью преобразования переменных.
Доказательство: Проведем индукцию по числу переменных. Квадратичная форма от имеет вид: , которое уже является каноническим. Предположим, что теорема верна для квадратичной формы от n-1 переменных и докажем, что она верна для квадратично формы от n переменных.
Если f не содержит квадратов переменных, то по лемме 1 ее можно привести к виду, содержащему квадрат хотя бы одной переменной, по лемме 2 полученную квадратичную форму можно представить в виде (2). Т.к. квадратичная форма является зависимой от n-1 переменных, то по индуктивному предположению она может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования этих переменных к переменным, если к формулам этого перехода еще добавить формулу, то мы получим формулы линейного преобразования, которое приводит к каноническому виду квадратичную форму, содержащуюся в равенстве (2). Композиция всех рассматриваемых преобразований переменных является искомым линейным преобразованием, приводящим к каноническому виду квадратичную форму (1).
Если квадратичная форма (1) содержит квадрат какой-либо переменной, то лемму 1 применять не нужно. Приведенный способ называется методом Лагранжа .
От канонического вида, где, можно перейти к нормальному виду, где, если, и, если, с помощью преобразования:
Пример: Привести к каноническому виду методом Лагранжа квадратичную форму:
Т.к. квадратичная форма f уже содержит квадраты некоторых переменных, то лемму 1 применять не нужно.
Выделяем члены, содержащие:
3. Чтобы получить линейное преобразование, непосредственно приводящее форму f к виду (4), найдем сначала преобразования, обратные преобразованиям (2) и (3).
Теперь, с помощью этих преобразований построим их композицию:
Если подставить полученные значения (5) в (1), мы сразу же получим представление квадратичной формы в виде (4).
От канонического вида (4) с помощью преобразования
можно перейти к нормальному виду:
Линейное преобразование, приводящее квадратичную форму (1) к нормальному виду, выражается формулами:
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №26 (II семестр)
Тема: Закон инерции. Положительно определённые формы.