Ускорение. Скорость и ускорение точек твердого тела, совершающего поступательное и вращательное движения Определение ускорения точки

Скорость точки.

Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки - определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.

1. Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки . В системе СИ скорость измеряется в м/с.

a) Определение скорости при векторном способе задания движения .

Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1): .

Рис. 2.6. К определению скорости точки

Пусть за время Dt радиус-вектор точки М изменится на величину . Тогда средней скоростью точки М за время Dt называется векторная величина

Вспоминая определение производной, заключаем:

Здесь и в дальнейшем знаком будем обозначать дифференцирование по времени. При стремлении Dt к нулю вектор , а, следовательно, и вектор , поворачиваются вокруг точки М и в пределе совпадают с касательной к траектории в этой точке. Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.

б) Скорость точки при координатном способе задания движения.

Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:

Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем

Вектор , как и любой вектор, может быть выражен через свои проекции:

Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл - они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):

Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости

в) Определение скорости при естественном способе задания движения.

Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения

Согласно (2.4) ,

где - единичный вектор касательной. Таким образом,

Величина V =dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0 , то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt<0 , то точка движется в противоположном направлении.

2. Ускорение точки

Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости . В системе СИ ускорение измеряется в м/с 2 .

a) Определение ускорения при векторном способе задания движения .

Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + Dt находится в положении М(t + Dt) и имеет скорость V(t + Dt) (см. рис. 2.9).

Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения

Средним ускорением за промежуток времени Dt называется отношение изменения скорости к Dt , т.е.

Предел при Dt ® 0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t

Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.

б). Ускорения при координатном способе задания движения .

Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:

Учитывая, что производные от единичных векторов равны нулю, получаем:

Вектор может быть выражен через свои проекции:

Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.

Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:

в). Ускорение точки при естественном способе задания движения

Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.

Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.

Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М 1 секущую ММ 1 .

Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки

Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ 1 при стремлении точки М 1 к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой .

Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М 1 . Перенесем вектор в точку М (рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую через эту точку и векторы и . Повторяя процесс образования аналогичных плоскостей при стремлении точки М 1 к точке М , мы получаем в пределе плоскость, называемую соприкасающейся плоскостью.

Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости

Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью (рис. 2.12).

Пусть теперь известна функция . На рис. 5.10
и
 векторы скорости движущейся точки в моменты t и t . Чтобы получить приращение вектора скорости
перенесем параллельно вектор
в точкуМ :

Средним ускорением точки за промежуток времени t называется отношение приращения вектора скорости
к промежутку времениt :

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной радиус-вектора по времени

. (5.11)

Ускорение точки  это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по времени.

Построим годограф скорости (рис.5.11). Годографом скорости по определению является кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости откладывается из одной и той же точки.

Определение скорости точки при координатном способе задания её движения

Пусть движение точки задано координатным способом в декартовой системе координат

х = x (t ), y = y (t ), z = z (t )

Радиусвектор точки равен

.

Так как единичные векторы
постоянны, то по определению

. (5.12)

Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох , Оу и Oz через V x , V y , V z

(5.13)

Сравнивая равенства (5.12) и (5.13) получим

(5.14)

В дальнейшем производную по времени будем обозначать точкой сверху, т.е.

.

Модуль скорости точки определяется формулой

. (5.15)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения

Вектор скорости в декартовой системе координат равен

.

По определению

Обозначим проекции вектора ускорения на оси Ох , Оу и Oz через а x , а y , а z соответственно и разложим вектор скорости по осям:

. (5.17)

Сравнивая равенства (5.16) и (5.17) получим

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (5.19)

а направление вектора ускорения  направляющими косинусами:

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

Орты илежат всоприкасающейся плоскости , орты ивнормальной плоскости , орты и в спрямляющей плоскости .

Полученный трехгранник называется естественным.

Пусть задан закон движения точки s = s (t ).

Радиус вектор точкиМ относительно какойлибо фиксированной точки будет сложной функцией времени
.

Из дифференциальной геометрии известны формулы СерреФрене, устанавливающие связи между единичными векторами естественных осей и векторфункцией кривой

где   радиус кривизны траектории.

Используя определение скорости и формулы СерреФрене, получим:

. (5.20)

Обозначая проекцию скорости на касательную и учитывая, что вектор скорости направлен по касательной, имеем

. (5.21)

Сравнивая равенства (5.20) и (5.21), получим формулы для определения вектора скорости по величине и направлению

Величина положительна, если точкаМ движется в положительном направлении отсчета дуги s и отрицательна в противоположном случае.

Используя определение ускорения и формулы СерреФрене, получим:

Обозначим проекцию ускорения точки на касательную, главную нормаль и бинормаль
соответственно.

Тогда ускорение равно

Из формул (5.23) и (5.24) следует, что вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается по направлениям и:

(5.25)

Проекция ускорения на касательную
называетсякасательным или тангенциальным ускорением . Оно характеризует изменение величины скорости.

Проекция ускорения на главную нормаль
называетсянормальным ускорением . Оно характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Модуль вектора ускорения равен
.

Если иодного знака, то движение точки будет ускоренным.

Если иразных знаков, то движение точки будет замедленным.

В этой главе в основном рассмотрены методы решения задач, в которых закон движения точки выражен так называемым естественным способом: уравнением s=f(t) по заданной траектории *.

* Решения задач, в которых закон движения задан координатным способом, рассмотрены в конце главы (§ 31).

В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки но заданной траектории, являются: s - расстояние от заданного начального положения и t - время.

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью (v на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:
v = ds/dt или v = f"(t).

Ускорение a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость - вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением a t - составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
a t = dv/dt или a t = f""(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением a n - составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
a n = v 2 /R,
где v - модуль скорости точки в данный момент;
R - радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a (полное ускорение точки ).

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора:
a = sqrt(a t 2 + a n 2).

Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:
sin α = a n /a; cos α = a t /a; tg α = a n /a t .

Но можно сначала определить направление полного ускорения a использовав формулу tg α = a n /a t ,
а затем найти числовое значение a:
a = a n /sin α или a = a t /cos α.

Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.

Наличие касательного ускорения (a t ≠0) или его отсутствие (a t =0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.

Наличие нормального ускорения (a n ≠0) или его отсутствие (a n =0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.

Движение точки можно классифицировать так:
а) равномерное прямолинейное (a t = 0 и a n = 0);
б) равномерное криволинейное (a t = 0 и a n ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (a t ≠ 0 и a n = 0);
г) неравномерное криволинейное (a t ≠ 0 и a n ≠ 0).

Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.

Степень неравномерности движения точки задана уравнением s=f(t), а вид траектории задается непосредственно.

§ 27. Равномерное прямолинейное движение точки

Если a t =0 и a n =0, то вектор скорости остается постоянным (v=const), т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным .

Уравнение равномерного движения имеет вид
(а) s = s 0 + vt
или в частном случае, когда начальное расстояние s 0 =0,
(б) s = vt.

В уравнение (а) входит всего четыре величины, из них две переменные: s и t и две постоянные: s 0 и v. Поэтому в условии задачи на равномерное и прямолинейное движение точки должны быть заданы три любые величины.

При решении задач необходимо выяснить все заданные величины и привести их к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы: расстояние s измеряется в м, время t - в сек, скорость v - в м/сек.

§ 28. Равномерное криволинейное движение точки

Если a t = 0 и a n ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное
a n = v 2 /R,
где R - радиус кривизны траектории.

В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный:
R = r = const,
а так как и числовое значение скорости постоянно, то
a n = v 2 /r = const.

При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы
v = (s - s 0)/t или v = s/t.

Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r - диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид
v = 2πr/T = πd/T.

§ 29. Равнопеременное движение точки

Если вектор a t =const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то a n =0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным .

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
a t = dv/dt = f"(t) = const,
то a n ≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным .

При |a t |>0 движение точки называется равноускоренным , а при |a t |<0 - равнозамедленным .

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
(1) s = s 0 + v 0 t + a t t 2 / 2.

Здесь s 0 - расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v 0 - начальная скорость и a t - касательное ускорение - величины численно постоянные, a s и t - переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения
(2) v = v 0 + a t t.

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s 0 , v 0 , a t и три переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны a t и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения a t из (1) и (2)
(3) s = s 0 + (v + v 0)t / 2;

после исключения t из (1) и (2)
(4) s = s 0 + (v 2 - v 0 2) / (2a t).

В частном случае, когда начальные величины s 0 =0 и v 0 =0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:
(5) s = a t t 2 / 2;
(6) v = a t t;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2a t).

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) - вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением . К этому движению применимы формулы (5)-(8), причем
a t = g = 9,81 м/сек 2 ≈ 9,8 м/сек 2 .

§ 30. Неравномерное движение точки по любой траектории

§ 31. Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:
x = f 1 (t);
(1) y = f 2 (t);
z = f 3 (t);

Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями:
(2) x = f 1 (t);
y = f 2 (t);

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме .

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то:

а) траектория плоского движения точки выражается уравнением
y = F(x),
которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;

б) числовое значение скорости точки находится из формулы
v = sqrt(v x 2 + v y 2)
после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат
v x = dx/dt и v y = dy/dt;

в) числовое значение ускорения находится из формулы
a = sqrt(a x 2 + a y 2)
после предварительного определения проекций ускорения на оси координат
a x = dv x /dt и a y = dv y /dt;

г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

§ 32. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R - кривизну ) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу
a n = v 2 /R,
выражающую числовое значение нормального ускорения.

Отсюда
(а) R = v 2 /a n .

Скорость v точки определяется по формуле
(б) v = sqrt(v x 2 + v y 2).

Следовательно,
(б") v 2 = v x 2 + v y 2 .

Числовое значение нормального ускорения a n входит в выражение полного ускорения точки
a = sqrt(a n 2 + a t 2),
откуда
(в) a n = sqrt(a 2 - a t 2),
где квадрат полного ускорения
(г) a 2 = a x 2 + a y 2
и касательное ускорение
(д) a t = dv/dt.

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями
x = f 1 (t);
y = f 2 (t),
то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:
v x = f 1 "(t);
v y = f 2 "(t).

2. Подставив в (б") выражения v x и v y , найти v 2 .

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б"), найти касательное ускорение a t , а затем a t 2 .

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения
a x = f 1 ""(t) = v x ";
a y = f 2 ""(t) = v y ".

5. Подставив в (г) выражения a x и a y , найти a 2 .

6. Подставить в (в) значения a 2 и a t 2 и найти a n .

7. Подставив в (а) найденные значения v 2 и a n , получить радиус кривизны R.

И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора — вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами — единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? «Наверное какой-то жуткий», подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y , чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x :

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой , ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки — это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам . В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора — это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике . А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.