Концепция развития математического образования в РФ Основная цель Концепции: вывести российское математическое образование на лидирующее положение в мире. Задача российского педагогического сообщества заключается в том, чтобы математика в России стала передовой и привлекательной областью знания и деятельности, а получение математических знаний – осознанным и внутренне мотивированным процессом.
МОТИВАЦИЯ Низкая учебная мотивация школьников связана: – с общественной недооценкой значимости математического образования, – с перегруженностью образовательных программ, а также оценочных и методических материалов техническими элементами и устаревшим содержанием, – с отсутствием программ, отвечающих потребностям обучающихся и действительному уровню их подготовки. Концепция развития математического образования в РФ
Цели математического образования Приоритеты математического образования – это развитие способностей к: логическому мышлению, коммуникации и взаимодействию на широком математическом материале (от геометрии до программирования); реальной математике: математическому моделированию (построению модели и интерпретации результатов), применению математики, в том числе, с использованием ИКТ; поиску решений новых задачи, формированию внутренних представлений и моделей для математических объектов, преодолению интеллектуальных препятствий. Особое внимание именно к самостоятельному решению задач, в том числе – новых, находящихся на границе возможностей ученика, было и остается важной чертой отечественного математического образования.
Предметное содержание образования будет включать все больше элементов прикладной математики, информатики, «компьютерной математики» (в том числе – созданных для описания и исследования процессов мышления, коммуникации, деятельности человека); Математическая (как и вся образовательная) деятельность будет во все большой степени идти в (цифровой, электронной) информационной среде, обеспечивающей взаимодействие участников образовательного процесса, доступ к информационным источникам, фиксацию хода и результатов образовательного процесса, возможность их автоматизированного анализа и внешнего наблюдения
Математика в общем образовании Для каждого ребенка должен индивидуально проектироваться его «коридор ближайшего развития». Понятие «ребенок, не способный к математике» должно потерять смысл и исчезнуть из лексикона учителей, родителей, школьников и общества.
Концепция развития математического образования в РФ Дошкольное и начальное образование: – создание условий, способствующих развитию логико- математических и коммуникативных способностей; – использование математических, логических и стратегических игр, предметных и экранных соревнований. Основная школа: – многообразие приложений; – компьютерные инструменты и модели. Старшая школа: выделить три потока, обеспечивающих – базовую математическую компетентность для учащихся, – широкую общекультурную программу математической – подготовки; – углубленное изучение математики.
Школы, детские сады, учреждения дополнительного образования детей, высшего и дополнительного профессионального образования должны быть очагами математической культуры в обществе: доступная, яркая математика должна присутствовать в информационной среде городских пространств, помещений и сайтов, учебно- методические комплексы должны включать материал для работы родителей с ребенком. Математика в общем образовании
Учащиеся с низкими академическими результатами, с «накапливающимся незнанием» из социально- незащищенных семей, с ограниченными возможностями здоровья, пропустившие занятия по болезни, должны быть обеспечены постоянной тьюторской поддержкой, которая позволит им вернуться «в основной поток». Это важно как для повышения гарантированного минимума математической компетентности в обществе, так и для повышения эффективности обучения основной массы учащихся. Математика в общем образовании
ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Мотивационные. Общественная недооценка значимости математического образования, Перегруженность школьных и вузовских программ техническими элементами и устаревшим содержанием Нереалистичность аттестационных требований для значительной части выпускников Содержательные. Устаревание содержания и формальность изучения математики на всех ступенях образования. Оторванность программ от жизни. Содержание математического образования на всех его ступенях продолжает устаревать и остается формальным и оторванным от жизни, его преемственность между ступенями - недостаточна. Потребности будущих специалистов в математических знаниях и методах, в частности, опирающихся на информационные технологии учитываются слабо. Фактическое отсутствие различий в учебных программах и аттестационных требованиях для разных групп учащихся приводит к низкой эффективности учебного процесса, подмене обучения «натаскиванием» на экзамен, игнорированию действительных способностей и особенностей подготовки учащихся. Наблюдается отрыв вузовского образования Вузовское образование оторвано от современной науки и практики, его уровень падает, что частично обусловлено недостаточной интегрированностью российской науки в мировую. Кадровые. В Российской Федерации не хватает учителей и преподавателей вузов, которые могут качественно преподавать математику, учитывая учебные интересы различных групп обучающихся. Сложившаяся система подготовки учителей, повышения квалификации и переподготовки педагогических кадров не отвечает современным нуждам. Выпускники педагогических вузов в своем большинстве не имеют достаточной предметной (прежде всего - в школьной математике) и практической подготовки
НАПРАВЛЕНИЯ МОДЕРНИЗАЦИИ, ОТРАЖЕННЫЕ В ПРИМЕРНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ Результаты освоения программы не разбиваются по предметам. Используется понятие математической компетентности как совокупности знаний, умений и навыков и способности их применять, относящихся к области математики
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Современное содержание курса математики и информатики начального общего образования, отраженное в ФГОС, базируется на фундаментальных понятиях математики и информатики: символа, совокупности и цепочки, основных операциях над ними, понятиях логики и алгоритмики. Принципиальным является то, что осваиваемые объекты, операции, конструкции, действия всегда, когда это возможно, являются наглядными, доступными зрительному восприятию ребенка (на бумаге или на экране), а иногда даже и тактильному, и кинестетическому (когда объекты материализуются), и слуховому.
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Важное место в математической компетентности, формируемой во время обучения в основной школе, занимают элементы, применение (и тем самым - освоение) которых традиционно начинается на уроках физики. В современном курсе физики активно используются понятия перпендикулярности, параллельности, вектора (и «откладывания вектора от точки»), операций над векторами (в частности, разложения вектора по двум осям), тригонометрических функций (угла, меньшего развернутого), производной (скорости изменения), подобия (в частности - в оптике).
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Варианты построения курсов математики и физики: материал вводится в рассмотрение курса математики после того, как он используется в курсе физики. Таким образом, его изучение в курсе математики логически может быть представлено как «теоретическое осмысление», система определений и доказательств для понятий, содержательно, интуитивно, наглядно уже освоенных. построение курсов физики и математики, где приложения в физике появляются после прохождения соответствующего материала в курсе математики. более раннее изучение разделов геометрии, обеспечивающее «теоретическую» базу для физики. Это может быть сделано как с сохранением дедуктивной структуры современного («классического») курса геометрии, так и одновременно с его перестройкой.
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Межпредметная синхронизация: Начальная школа. Осваивается логика математических рассуждений, использование имен, утверждений о существовании и всеобщности (через которые выражаются и утверждения типа «и», «или»). Вводятся структуры данных: линейные (цепочки) и иерархические (деревья), используемые в русском и иностранных языках (грамматика), истории, биологии (классификации); таблицы и столбчатые диаграммы, как один из инструментов представления данных, в том числе о внешнем мире. Осваиваются измерения и анализ данных, в том числе автоматически получаемых цифровыми измерительными приборами, данные визуализируются на компьютере. Осваиваются алгоритмы: в визуальной среде - использующие основные конструкции структурного программирования (без присваивания), в числовой среде - линейные с последовательным присваиванием: «решение арифметических задач по вопросам».
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Межпредметная синхронизация: 5-6 кл. Изучаются рациональные числа, алгебраические выражения, уравнения, подстановка одного выражения в другое, эквивалентные преобразования. Формируется представление об уравнениях, отражающих закономерности (в частности - физические) реального мира. Выполняются задания, где, располагая математической формулировкой физической закономерности, можно выразить одну переменную через другие, можно найти ее значения, имея значения этих других.
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Межпредметная синхронизация: 7 кл. Появляется двумерная декартова плоскость (пока с рациональными координатами). Получают представление о функциях так, как это понимается в современной математике, в том числе о функциях, заданных алгебраическими выражениями, и о функциях, возникающих в результате измерений, проводимых цифровыми датчиками в физических процессах (отчасти возможна замена на ручное измерение). Сопоставляются теоретические и экспериментальные кривые. Физические величины, по существу, одномерны.
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Межпредметная синхронизация: 8 кл. Возникает представление о континууме действительных чисел, как отражающем физическую реальность. Полученные знания о пропорциональности геометрических объектов подкрепляются и используются в геометрической оптике. 9 кл. Аппарат метрической геометрии (теорема Пифагора, расстояние на плоскости, теорема косинусов) и тригонометрии (тригонометрические функции углов меньше развернутого), векторной алгебры осваивается параллельно в курсе математики и их приложения – в курсе физики. В курсе физики, в динамике, происходит переход от «скалярной» к «векторной»: скорость, ускорение, сила становятся векторами (по существу - двумерными).
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕРНОЙ ПРОГРАММЫ Освоение понятий: Оценка. В случае, когда для имен, входящих в математическое (в частности - алгебраическое) выражение, известны ограничения на их численные значения, иногда бывает возможно сделать вывод об ограничениях на значение всего выражения. Прикидка. В некоторых ситуациях, например, чтобы усомниться в правильности вычисления, человек высказывает не заведомо верное, но правдоподобное утверждение о значениях промежуточных результатов вычислений, а потом и о значении всего вычисляемого выражения. Приближенное значение. Простейшим видом оценки является оценка, получаемая отбрасыванием всех знаков десятичной записи числа, начиная с некоторого (приближение с недостатком), или аналогичная операция, дающая «оценку сверху».
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Целые, рациональные и действительные числа Измерения, приближения, оценки Алгебраические выражения Уравнения Неравенства Функции Числовые последовательности Описательная статистика Комбинаторика Геометрия Информация и способы ее представления Основы алгоритмической культуры Использование программных систем и сервисов Моделирование Математика в историческом развитии
ГЕОМЕТРИЯ Содержание должно проектироваться с учетом: развития визуального мышления, пространственного воображения; формирования математического словаря, относящегося к общекультурному багажу; уникального двухтысячелетнего источника и последующей интеллектуальной традиции, драмы идей, в которую имеет возможность погрузиться учащийся, уникальной красоты геометрических фактов, построений и доказательств; обеспечения каждого учащегося максимальным опытом самостоятельного доказывания, решения задач на построение; указанной выше задачи обоснования приложений геометрии в физике; применения геометрических понятий и фактов в повседневной и профессиональной деятельности; полезности решения геометрических задач для развития навыков формульных вычислений, в частности, с повышенными (за счет геометрической интерпретации) возможностями контроля правильности результата.
ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ В требованиях к результатам освоения программы зафиксированы и описаны уровни математической компетентности по завершении каждого класса школы. Описание результатов освоения программы по классам состоит в указании новых элементов компетентности, приобретаемых к завершению очередного класса.
ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ 5 класс В математическую компетентность после 5 класса входят все элементы математической компетентности после начальной школы, расширенные за счет перехода от целых чисел к рациональным: обыкновенным и десятичным дробям, возможность использовать имена (переменные) в алгебраических выражениях, решение уравнений. 6 класс В математическую компетентность после 6 класса входят все элементы математической компетентности после 5 класса.
ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ 7 класс математическую компетентность после 7 класса входят все элементы математической компетентности после 6 класса. Основным расширением является «функциональный взгляд». 8 класс Основными элементами компетентности к концу 8 класса являются: расширение представления о числах, умение решать квадратные уравнения умение работать с многочленами, представление о пропорциональности в геометрии.
ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ 9 класс Основными элементами компетентности к концу 9 класса являются умение: строить графики тригонометрических функций, применять понятие производной, распознавать кривые и фигуры, заданные уравнениями и неравенствами на плоскости, знать и применять свойства векторов, в том числе в их приложениях в геометрии и физике.
Авторы:
Каракозов Сергей Дмитриевич 1 , доктор педагогических наук, профессор
Атанасян Сергей Левонович 2 , д.п.н., профессор
Семенов Алексей Львович 3 , д.ф.-м.н., профессор
академик РАН
академик РАО
1 Московский педагогический государственный универсистет, 2 Московский городской педагогический университет, 3 Московский педагогический государственный университет
Реализация Концепции развития математического образования в Российской Федерации обеспечит новый уровень математического образования, что улучшит преподавание других предметов и ускорит развитие не только математики, но и других наук и технологий. Это позволит России достигнуть стратегической цели и занять лидирующее положение в мировой науке, технологии и экономике, а также способствовать разработке и апробации механизмов развития образования, применимых в других областях
Ключевые идеи Концепции развития математического образования в РФ и ИТ-образование
Распоряжением Правительства РФ утверждена Концепция развития математического образования в России, представляющая собой систему взглядов на базовые принципы, цели, задачи и основные направления развития математического образования в Российской Федерации.
В Концепции отмечается, что
· Информационная, цифровая цивилизация, экономика, основанная на знании, требуют новых видов и уровней математической грамотности и культуры. В частности, создание средств и инструментов ИКТ является, прежде всего, математической деятельностью.
· Выработанные в математике, осваиваемые человеком в его образовании важнейшие понятия: доказательства, алгоритма, измерения и модели сегодня являются универсальными, общекультурными, значимыми и применяемыми далеко за пределами математики..
· Математика является важным элементом национальной идеи и конкурентным преимуществом России, которое должно быть поддержано соответствующими преференциями.
· Каждый гражданин и каждый профессионал должен обладать необходимой математической компетентностью, формирование которой - задача образования, начиная с раннего, дошкольного возраста.
· Освоение математики - это, в первую очередь, решение новых интересных задач, использующее точные правила. Математическая деятельность - ключевой элемент всей системы математического образования. Использование современных технологий и инструментов деятельности, сред взаимодействия поможет России вернуть себе лидирующие позиции в математическом образовании.
· Каждый уровень и сегмент математического образования необходим, в то числе - и для других сегментов и уровней образования.
· Особую поддержку и особую свободу профессиональной деятельности должны получить лидеры.
· Профессионально-общественная активность математиков, как и педагогов-математиков, осознание и реализация ими своей общественной миссии необходимы для развития математического образования.
· Проблемы качества педагогов-математиков должна получить системное решение.
Реализация настоящей Концепции обеспечит новый уровень математического образования, что улучшит преподавание других предметов и ускорит развитие не только математики, но и других наук и технологий. Это позволит России достигнуть стратегической цели и занять лидирующее положение в мировой науке, технологии и экономике, а также способствовать разработке и апробации механизмов развития образования, применимых в других областях.
Cлайд 1
Концепция развития российского математического образования Презентация Дмитриевой Ольги Евгеньевны, учителя МБОУ «Большевсегодическая ООШ» Ковровского района, Владимирской области 2013гCлайд 2
Указ Президента РФ от 7 мая 2012 года № 599 «Правительству Российской Федерации: а) обеспечить реализацию следующих мероприятий в области образования:… разработку и утверждение в декабре 2013 г. Концепции развития математического образования в Российской Федерации на основе аналитических данных о состоянии математического образования на различных уровнях образования…»
Cлайд 3
Математика в современном мире и ее значение для России Способы логического рассуждения, планирования и коммуникации, моделирования реального мира, реализуемые и прививаемые математикой, являются необходимым элементом общей культуры с более чем трехсот тысячелетней историей. Математика может стать важны элементом национальной идеи России XXI века, основой иновационно-технологического потенциала и полем наиболее эффективных инвестиций. Математическое образование должно фактически явиться предметом государственной программы (возможно, интегрированной в другие госпрограммы). Любое стратегическое направление развития страны будет требовать высокого уровня математического основания и сопровождения.
Cлайд 4
Области математической деятельности и математического образования Основными областями математической деятельности являются: фундаментальная математика прикладная математика создание ИКТ профессиональное применение математики (в том числе ИКТ как математических инструментов) общечеловеческое применение математики Элементы математической деятельности присутствуют в работе педагогов ‐ математиков. Математическая компетентность формируются благодаря их работе.
Cлайд 5
Педагог‐математик – основной фактор качества математического образования Основная задача педагога‐математика – формирование у обучающихся модели деятельности, в частности – умения и готовности ставить и решать новые, ранее не встречавшиеся (отдельному человеку или человечеству) задачи в соответствующих областях. Педагог, учитель, преподаватель математики, независимо от того, в системе образования какого уровня он работает: сам делает то, чему учит; сам постоянно учится этому.
Cлайд 6
Для поддержания текущей активности, нужны условия: поощрение – в форме учета при оплате труда, конкурсах на замещение вакантной должности оплата сопутствующих расходов – командирования на конференции, стажировки, подписку на электронные издания и доступ к базам данных, приобретение средств ИКТ, оплата приезда специалистов из других организаций, дистанционных курсов и программ выделение грантов внутри самой организации на перспективные темы, естественно, с соответствующим контролем и поощрением результатов поощрение деятельности учеников педагога‐математика планирование и отчетность
Cлайд 7
Цели и содержание общего и профессионального математического образования Важной чертой отечественного математического образования является центральная роль самостоятельного решения задач, в том числе – принципиально новых, неожиданных, находящихся на границе возможностей ученика. Школьная математика была и остается областью, в наибольшей степени выражающей активный, деятельностный приоритет, в отличие от пассивного запоминания фактов. Поддержание этого приоритета, его реализация при освоении приложений математики, математического компонента во всех направлениях высшего образования, является важнейшим базовым принципом Концепции.
Cлайд 8
Непрерывное образование математических лидеров и их роль в системе образования Создание наиболее благоприятных условий для поддержки и развития ведущих общеобразовательных школ и наставников, минимизация барьеров и ограничений, достойная поддержка государства будут важным направлением реализации концепции. Одним из нормативных закреплений их роли может быть введение статусов, аналогичным статусам сильнейших вузов (федеральная школа, национальная исследовательская школа – имеется в виду школа, где идут педагогические исследования, и т. д.). Соответствующий статус – федерального учителя, национального учителя‐исследователя может присуждаться и учителю, и наставнику. Позитивный опыт этого в нашей стране имеется.
Cлайд 9
Математическое просвещение Элементы математического просвещения (в том числе – в форме занимательных задач, игр, головоломок, телеконкурсов) насытят среду обитания, интегрируются в массовую культуру (вплоть до настенных календарей, социальной рекламы и телешоу). Поддержание математической формы, интерес к последним достижениям в математике и ее приложениях станут социально значимыми и престижными. Решение математической задачки, условие которой размещено на автобусной остановке или в вагоне метро, станет национальной особенностью. Форматы математических соревнований могут включать блиц‐ответы по телефону, брейн‐ринги, дистанционные командные турниры. Школы, детские сады, учреждения дополнительного образования детей, высшего и дополнительного профессионального образования станут очагами математической культуры в обществе
Cлайд 10
Математика в общем образовании Для каждого ребенка необходимо индивидуально проектировать его «коридор ближайшего развития». Понятие «ребенок, не способный к математике» исчезнет из лексикона учителей, родителей, школьников и общества. Особую роль приобретает создание условий, сред и ситуаций в дошкольном и начальном образовании, содействующих развитию логико‐математических и коммуникативных способностей; использование математических, логических и стратегических игр, предметных и экранных сред, соревнований. Процесс реализации принципов современной педагогики, создания материальной и информационной среды, содействующей развитию математических способностей каждого ребенка, сейчас активно идет в России. В основной школе интерес к математике будет поддерживаться в том числе и многообразием ее приложений, компьютерными инструментами и моделями.
Cлайд 11
Лучших учащихся, обладающих устойчивой и результативной мотивацией, нужно обеспечить: высококвалифицированными педагогами в своей школе, или возможностью обучения в специализированной школе для детей с той же мотивацией и соответствующими педагогами, или бесплатным основным, дополнительным и неформальным математическим образованием необходимой глубины, в том числе, с применением дистанционных образовательных технологий. Учащихся с низкими академическими результатами, с «накапливающимся незнанием», с ограниченными возможностями здоровья, пропустившие занятия по болезни, недостаточно владеющие русским языком нужно обеспечить тьюторской поддержкой, которая позволит им вернуться «в основной поток». Особо нужно обратить внимание на бесплатную тьюторскую помощь детям из с социально‐незащищенных семей.
Cлайд 12
В старшей школе будет выделено три потока, обеспечивающих: базовую математическую компетентность для учащихся, недостаточно освоивших программный материал начальной и основной школы, широкую общекультурную программу математической подготовки для тех, кто показал хорошие результаты в основной школе, но не планирует дальнейшей специализации в областях, требующих математики, углубленное изучение математики для продолжения образования и дальнейшей профессиональной деятельности, в том числе – в сферах образовании, ИКТ, математических исследований. Педагоги‐математики массовой общеобразовательной школы обязаны обладать математической компетентностью, существенно превосходящей максимум, ожидаемый от большинства учащихся соответствующих ступеней.
Cлайд 13
«Профессиональный» и «общий» бакалавриат В контексте Концепции должен быть решен вопрос о разделении потока подготовки бакалавров по ряду направлений на два различных: «профессиональный» и «общий». Профессиональный поток предполагает: высокие вступительные требования интенсивный образовательный процесс высокого уровня и с высокими требованиями, с возможностью перевода в общий поток высокую квалификацию и, возможно оплату, преподавателей стипендию, существенно превосходящую прожиточный минимум возможность кредитования под гарантии государств с постепенным погашением государством в случае работы в РФ по специальности гарантии трудоустройства по специальности в случае достижения определенного уровня итоговой аттестации
Cлайд 14
Подготовка учителей‐математиков Необходимо сформировать такую систему подготовки педагогов‐математиков для общего образования, при которой: учителя будут вырастать из школьников, обладающих высокой математической компетентностью; студенты получают нужный объем деятельности: математической (решение «нестандартных» задач из элементарной математики – в первую очередь) и педагогической (работа с учениками, начиная с первого‐второго курса), как основного компонента программ педагогического бакалавриата; для получения квалификации учителя при подготовке по программам физико‐математического и технического бакалавриата студенты также будут получать нужный объем математической и педагогической деятельности (работы в общем и дополнительном образовании детей), для них будет обеспечен доступ к фундаментальному предметному;
Подготовка преподавателей, готовящих учителей, и преподавателей, повышающих их квалификацию Требования: Успешное завершение программ профессионального» бакалавриата Успешное завершение магистратуры в области математических наук Опыт высокого качества работы в общем образовании с соответствующей аттестацией Педагогическая ординатура Математическая или педагогическая аспирантура, защита кандидатской диссертации. Необходимо участие педагогов математических кафедр, готовящих учителей, в образовательном процессе общего образования (в частности, в экспертизе экзаменационных заданий.
Cлайд 17
Резюме ключевых идей Краткое перечисление ключевых идей Концепции: Математика, как национальная идея и конкурентное преимущество России. Математическая компетентность каждого гражданина и каждого профессионала. Профессионально‐общественная активность математиков. Математика – решение новых интересных задач, использующее точные правила. Математическая деятельность как ключевой элемент всей системы математического образования. Применение ИКТ в математическом образовании, как основа для опережения на мировом уровне.
Cлайд 18
Резюме ключевых идей Взаимная необходимость всех сегментов, слоев и уровней математического образования (от взаимного обучения мировых математических лидеров до дошкольников, их воспитателей и родителей). Особая поддержка школ – лидеров: в профессиональной математике, в образовании детей. Оценка качества работы педагога и школы по приращению математической компетентности, а не только по абсолютному уровню выпускников и педагогов. «Нет детей, не способных к математике». Системное решение проблемы качества педагогов‐математиков: отбор, деятельностная подготовка, аттестация, трудоустройство
«Математическая симметрия» - Симметрия в химии. Поступательная симметрия. Симметрия в искусствах. Поступательная. Осевая. Центральная симметрия. Лучевая (радиальная) симметрия. Так что симметрия – пожалуй, чуть ли не самая главная вещь во Вселенной. Вращательная симметрия. В отличии от физической симметрии, математическая симметрия встречается во многих науках.
«Математическая индукция» - В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5. Составное число. Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда. 1,3,5,7,9,11,13… Алгоритм доказательства методом математической индукции. Принцип математической индукции. Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.
«Математические науки» - Нужно только понять и увидеть. Сложение. Один из крупнейших математиков. Создатель классической механики. Примеры по математике. Карл Гаусс (1777-1855). Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. На четырёх ногах стою, ходить же вовсе не могу. Установил принцип действия жидкостей и газов. Исаак Ньютон.
«Математические игры» - Основные функции. Игра – один из основных видов человеческой деятельности. Групповые игры. Групповые. Регата. Математические игры – прекрасный способ не только выявления, но и обучения талантливых детей. Игра - исследование. Индивидуальные игры. Развитие умений и навыков, необходимых для исследовательской деятельности.
«Математические загадки» - Только стружки белели. Да в печи четыре штуки, Пироги считают внуки. Отгадка. Не поставишь комарят наших в ряд. Сколько было сестренок? Да еще один пирог Кот под лавку уволок. Насчитала Комариха сорок пар, А продолжил счет сам Комар. Помогали мне братья. Посадила бабка в печь Пирожки с капустой печь.
«Математическое образование» - Сам материал дает возможность научить ребенка интеллектуально работать. Б.П.Гейдман, "О школьном математическом образовании". Об обучении математике сверх минимума скажу позже. Нужны уникальные специалисты, совмещающие педагогическое мастерство с хорошей математической подготовкой. Б.П. Гейдман.