1.Основные уравнения динамики
Можно выделить следующие подходы к разработке математических моделей технологических объектов: теоретический (аналитический), экспериментально-статистический, методы построения нечетких моделей и комбинированные методы. Дадим пояснения к этим методам.
Аналитическими методами составления математического описания технологических объектов обычно называют способы вывода уравнений статики и динамики на основе теоретического анализа физических и химических процессов, происходящих в исследуемом объекте, а также на основе заданных конструктивных параметров аппаратуры и характеристик перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, а также кинетические закономерности процессов переноса массы и теплоты, химических превращений.
Для составления математических моделей на основе теоретического подхода не требуется проведения экспериментов на объекте, поэтому такие методы пригодны для нахождения статических и динамических характеристик вновь проектируемых объектов, процессы которых достаточно хорошо изучены. К недостаткам таких методов составления моделей можно отнести сложность получения и решения системы уравнений при достаточно полном описании объекта.
Детерминированные модели процессов нефтепереработки разрабатываются на основе теоретических представлений о структуре описываемой системы и закономерностях функционирования её отдельных подсистем, т.е. на основе теоретических методов. Располагая даже самыми обширными экспериментальными данными о системе, нельзя описать её работу средствами детерминированной модели, если эти сведения не обобщены и не приведена их формализация, т.е. представлены в виде замкнутой системы математических зависимостей, отображающих с той или иной достоверностью механизм исследуемых процессов. В таком случае следует воспользоваться имеющимися экспериментальными данными для построения статистической модели системы.
Этапы разработки детерминированной модели представлены на рис. 4.
Постановка задачи
Формулировка математической модели
Выбран аналитический метод?
Выбор параметров вычисли-
тельного процесса
Эксперименталь-
Решение контрольных задач ное определение
констант модели
Нет
Контрольные экспе- Проверка адекватности Корректировка
рименты на натур- модели модели
Ном объекте Да
Оптимизационная Оптимизация процесса с Определение целевой
модель помощью модели функции и ограничении
Управление процессом с Модель управления
помощью модели
Рис.4. Этапы разработки детерминированной модели
Несмотря на существенные различия в содержании конкретных задач моделирования разнообразных процессов нефтепереработки, построение модели включает определенную последовательность взаимосвязанных этапов, реализация которых позволяет успешно преодолевать возникающие трудности.
Первым этапом работы является постановка задачи (блок 1), включающая формулировку задания на основе анализа исходных данных о системе и её изученности, оценки выделяемых для построения модели ресурсов (кадры, финансы, технические средства, время и т.д.) в сопоставлении с ожидаемым научно-техническим и социально-экономическим эффектом.
Постановка задачи завершается установлением класса разрабатываемой модели и соответствующих требований к ее точности и чувствительности, быстродействию, условиям эксплуатации, последующей корректировки и т.д.
Следующим этапом работы (блок 2) является формулировка модели на основе понимания сущности описываемого процесса, разделяемого в интересах его формализации на элементарные составляющие явления (теплообмен, гидродинамика, химические реакции, фазовые превращения и т.д.) и согласно принятой степени детализации - на агрегаты (макроуровень), зоны, блоки (микроуровень), ячейки. При этом становится ясно, какими явлениями необходимо или нецелесообразно пренебречь, в какой мере надо учесть взаимосвязь рассматриваемых явлений. Каждому из выделенных явлений ставится в соответствие определенный физический закон (уравнение баланса) и устанавливаются начальные и граничные условия его протекания. Запись этих соотношений с помощью математических символов - следующий этап (блок 3), состоящий в математическом описании изучаемого процесса, образующем его исходную математическую модель.
В зависимости от физической природы процессов в системе и характера решаемой задачи математическая модель может включать уравнения баланса массы и энергии для всех выделенных подсистем (блоков) модели, уравнения кинетики химических реакций и фазовых переходов и переноса вещества, импульса, энергии и т.д., а также теоретические и (или) эмпирические соотношения между различными параметрами модели и ограничения на условия протекания процесса. В связи с неявным характером зависимости выходных параметров Y от входных переменных X в полученной модели необходимо выбрать удобный метод и разработать алгоритм решения задачи (блок 4), сформулированной в блоке 3. Для реализации принятого алгоритма используются аналитические и численные средства. В последнем случае необходимо составить и отладить программу для ЭВМ (блок 5), выбрать параметры вычислительного процесса (блок 6) и осуществить контрольный счёт (блок 8). Аналитическое выражение (формула) или программа, введенная в ЭВМ, представляют новую форму модели, которая может быть использована для изучения или описания процесса, если будет установлена адекватность модели натурному объекту (блок 11).
Дляпроверки адекватности необходимо собрать экспериментальные данные (блок 10) о значениях тех факторов и параметров, которые входят в состав модели. Однако проверить адекватность модели можно только в том случае, если будут известны (из табличных данных и справочников) или дополнительно экспериментально определены некоторые константы, содержащиеся в математической модели процесса (блок 9).
Отрицательный результат проверки адекватности модели свидетельствует о её недостаточной точности и может быть следствие целого набора различных причин. В частности, может потребоваться переделка программы с целью реализации нового алгоритма, не дающего столь большой погрешности, а также корректировка математической модели или внесение изменений в физическую модель, если станет ясно, что пренебрежение какими-либо факторами является причиной неудачи. Любая корректировка модели (блок 12) потребует, конечно, повторного осуществления всех операций, содержащихся в нижележащих блоках.
Положительный результат проверки адекватности модели открывает возможность изучения процесса путём проведения серии расчётов на модели (блок 13), т.е. эксплуатации полученной информационной модели. Последовательная корректировка информационной модели с целью повышения её точности путём учёта взаимного влияния факторов и параметров, введения в модель дополнительных факторов и уточнение различных «настроечных» коэффициентов позволяет получить модель с повышенной точностью, которая может быть инструментом для более глубокого изучения объекта. Наконец, установление целевой функции (блок 15) с помощью теоретического анализа или экспериментов и включение в модель оптимизирующего математического аппарата (блок 14) для обеспечения целенаправленной эволюции системы в область оптимума даёт возможность построить оптимизационную модель процесса. Адаптация полученной модели для решения задачи управления производственным процессом в реальном масштабе времени (блок 16) при включении в систему средств автоматического регулирования завершает работу по созданию математической модели управления.
Для реализации экспериментально-аналитического способа оценки погрешности ИК представим операционную схему процесса аналитического измерения в виде обобщенной структуры рис.1.
Рис.1. Операционная схема аналитического измерительного
процесса: ОАК - объект аналитического контроля;
АСК - аналитическая система контроля; - определяемый параметр состава или свойства объекта;- контролируемый параметр состава или свойства вещества объекта с помощью АСК
Задачей аналитического контроля является нахождение величины, которая в наибольшей степени соответствует определяемому параметру .В идеальном случаедолжно быть равно, но в реальных условиях этого добиться невозможно, поэтому решается задача как можно большего приближения контролируемого параметра к определяемому.
Под погрешностью АСК будем понимать отклонение контролируемого параметраот определяемого параметраобъекта АСК:
где ,- начальное и конечное значение определяемого параметра.
Кроме определяемого параметра объект аналитического контроля ОАК содержит неопределяемые параметрыи различные помехи, которые могут быть вызваны нестабильностью температуры, давления и т.п. Эти мешающие факторы в основном не поддаются прогнозированию, но оказывают влияние на погрешность измерения. Аналитическая система контроля может быть различной структуры и, в свою очередь, также содержит ряд мешающих факторов, которыми нельзя управлять. Помимо этого, в каждой АСК можно выделить ряд варьируемых параметров, которые возможно изменять на этапе стендовых испытаний и наладки АСК: вектор а, принадлежащий допустимому множеству параметров
где n - число параметров. Как мешающие факторы, так и вектор варьируемых параметров а, содержащиеся в АСК, также оказывает влияние на погрешность определения .
Проанализировав структуру АСК, погрешность можно задать в виде функциональной зависимости:
F (,, а), (3)
Суть экспериментально-аналитического способа заключается в нахождении оптимальных значений вектора а, при которых погрешность АСК принимает значение не превышающее требуемого для конкретной задачи.
Этапы решения поставленной задачи:
1. Представление АСК в виде обобщенной структуры, анализ структуры и модели процесса измерения, выявление вектора варьируемых параметров.
2. Получение предельного значения погрешности АСК по результатам аналитических измерений на веществах с нормированными метрологическими характеристиками (эталонные вещества с известным составом и свойствами) при конкретных значениях вектора варьируемых параметров. Если предельное значение погрешности не превышает требуемое, то изменять вектор а не имеет смысла и на этом расчет заканчивается. В противном случае осуществляется переход к следующему этапу решения задачи.
3. Составление функциональной зависимости с использованием результатов предыдущих пунктов (,, а):= f (,, а).
4. Решение задачи оптимизации , которая формулируется следующим образом: найти такой вектор а, который обеспечивает минимальное значение погрешности, min; или, найти такой вектор а, чтобы погрешность АСК была меньше или равна заданному значению, .
5. Введения найденных значений вектора а в АСК и получение нового значения предельной погрешности АСК.
Применение экспериментально-аналитического способа эффективно при оптимальном проектировании АСК, который на стадии стендовых испытаний и наладки АСК гарантирует оценку погрешности АСК "снизу". Примеры расчета погрешности данным способом приведены ниже.
Способ 3: АНАЛИТИЧЕСКИЙ
Использование этого способа позволяет рассчитать интервалы, в которых погрешность ИК находится с заданной вероятностью. Этот интервал охватывает подавляющее большинство возможных действительных значений погрешности ИК в реальных условиях. Часть значений погрешности, не охватываемых данным интервалом, определяется задаваемой при расчете величиной вероятности. Способ заключается в статистическом объединении характеристик всех существенных составляющих погрешности СИ ИК.
Для реализации этого способа необходима информация о рассматриваемых метрологических характеристиках СИ, которая может быть получена из нормативно-технических документов для типа СИ, т.е. множества идентичных СИ.
2.3.1. Инструментальная погрешность. НМХ
Инструментальная погрешность в общем случае включает в себя четыре составляющие:
Погрешность, обусловленная отличием действительной функции преобразования СИ в нормальных условиях от номинальной функции преобразования. Эта составляющая погрешности называется основной погрешностью СИ;
Погрешность, обусловленная реакцией СИ на изменения внешних влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала относительно их нормальных значений. Эта составляющая зависит как от свойств СИ, так и от изменений влияющих величин и называется дополнительной погрешностью СИ;
Погрешность, обусловленная реакцией СИ на скорость (частоту) изменения входного сигнала. Эта составляющая, определяющая динамическую погрешность и режим измерений, зависит как от динамических свойств СИ, так и от частотного спектра входного сигнала и называется динамической погрешностью;
Погрешность, обусловленная взаимодействием СИ и объекта измерений. Эта составляющая зависит от свойств как СИ, так и объекта измерений.
Для оценки инструментальной составляющей погрешности измерений необходима информация о метрологических характеристиках (МХ) СИ. Сведения о МХ СИ получают, как правило, из нормативно-технических документов на СИ. Лишь в тех случаях, когда данных о НМХ недостаточно для эффективного использования СИ, экспериментально исследуют конкретные экземпляры СИ с целью определения их индивидуальных МХ.
На базе информации о НМХ СИ решается ряд задач, связанных с применением СИ, основными из которых являются оценка инструментальной составляющей погрешности измерений и выбор СИ. Решение этих задач базируется на взаимосвязи между инструментальной составляющей погрешности измерений и их МНХ СИ с учетом характеристик влияющих величин, отражающих условия эксплуатации СИ, и характеристик входного сигнала СИ, отражающих режим работы СИ (статический или динамический). Характерной особенностью этой взаимосвязи является то, что инструментальная составляющая погрешности измерений, в свою очередь, содержит ряд указанных составляющих и может быть определена лишь как их объединение.
Эта взаимосвязь выражается в построении комплексов НМХ в соответствии с принятой моделью СИ. Комплекс НМХ, установленный в нормативно-технических документах на СИ конкретного типа, предназначен для использования в следующих основных целях:
Определения результатов измерений, проводимых с применением любого экземпляра СИ данного типа;
Расчетного определения характеристик инструментальной составляющей погрешности измерений, проводимых с использованием любого экземпляра СИ данного типа;
Расчетного определения МХ измерительных систем, в состав которых входит любой экземпляр СИ данного типа;
Оценки метрологической исправности СИ при их испытаниях и поверке.
2.3.2. Модели погрешности средств измерений
При расчетном определении инструментальной составляющей погрешности измерений используется модель вида
где символом * обозначено объединение погрешности СИ в реальных условиях применения и составляющей погрешности, обусловленной взаимодействием СИ с объектом измерения. Под объединением следует понимать применение к составляющим погрешности измерений некоторого функционала, позволяющего рассчитать погрешность, обусловленную совместным воздействием этих составляющих. При этом под реальными условиями эксплуатации СИ понимают условия конкретного применения СИ, составляющие часть или, частом случае, совпадающие с рабочими условиями, регламентированными в нормативно-технической документации на СИ.
В соответствии с ГОСТ 8.009-84 считается, что модель погрешности СИ определенного типа в реальных условиях применения может иметь один из двух видов.
Модель вида 1 описывается выражением
(5)
где - систематическая составляющая основной погрешности СИ;- случайная составляющая основной погрешности СИ;- случайная составляющая основной погрешности СИ, обусловленная гистерезисом;- объединение дополнительных погрешностейСИ, обусловленных действием влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала СИ;- динамическая погрешность СИ, обусловленная влиянием скорости (частоты) изменения входного сигнала СИ;- число дополнительных погрешностей.
При этом рассматривают как детерминированную величину для отдельного экземпляра СИ, но как случайную величину или процесс для совокупности СИ данного типа. При расчете характеристик погрешности СИ в реальных условиях применения (и при расчете характеристик инструментальной составляющей погрешности измерений) составляющиеимогут рассматриваться как случайные величины (процессы) или как детерминированные величины в зависимости от того, какие известны характеристики реальных условий применения СИ и спектральные характеристики входного сигнала СИ.
Модель II имеет вид
где - основная погрешность СИ (без разделения ее на составляющие, как в модели 1);.
В обоих случаях число l составляющих должно быть равно числу всех величин, существенно влияющих на погрешность СИ в реальных условиях применения. При этом в зависимости от свойств СИ данного типа и реальных условий его использования отдельные составляющие (модели 1 и II) или все составляющие и/или(модель II) могут отсутствовать.
Рассмотренные модели используются при выборе соответствующего комплекса НМХ и лежат в основе методов расчета погрешностей измерений.
Модель 1 погрешности выбирается для таких СИ, при использовании которых допускается превышение (изредка) действительной погрешности измерений значения, рассчитанного по НМХ СИ. При этом по комплексу НМХ могут быть рассчитаны интервалы в соответствии с ГОСТ 8.011-72, в которых инструментальная составляющая погрешности измерений находится с любой заданной вероятностью, близкой к единице, но не равной ей.
В данном случае рассчитанный интервал охватывает подавляющее большинство возможных действительных значений инструментальной составляющей погрешности измерений, проводимых в реальных условиях. Незначительная часть значений погрешности, не охватываемая данным интервалом, определяется задаваемой при расчете величиной вероятности. Приближая значение вероятности к единице (но не принимая ее равной единице), можно получить достаточно достоверные оценки инструментальной составляющей погрешности измерений.
При этом метод расчета погрешности должен заключатся в статистическом объединении характеристик всех существенных составляющих модели 1 и составляющей . Такой же метод следует применять при расчете МХ измерительных систем, в состав которых входят СИ данного типа.
Модель II погрешности выбирается для СИ, при использовании которых в реальных условиях нельзя допустить, чтобы погрешность хотя бы изредка превышала значение, рассчитанное по НМХ СИ. В данном случае, рассчитанный по комплексу НМХ, интервал погрешности будет представлять собой грубую оценку сверху искомой инструментальной составляющей погрешности измерений, охватывающую все возможные, в том числе очень редко реализующиеся, значения погрешности. Для подавляющего большинства измерений этот интервал будет существенно превышать интервал, в котором действительно находится инструментальные составляющие погрешности измерений. Требование равенства единице вероятности, с которой погрешность находится в данном интервале, приводит практически к значительно завышенным требованиям к МНХ СИ при заданной точности измерений.
При использовании модели II метод расчета погрешности состоит в арифметическом суммировании модулей наибольших возможных значений всех существенных составляющих инструментальной составляющей погрешности измерений. Эти наибольшие возможные значения являются границами интервалов, в которых соответствующие составляющие погрешности находятся с вероятностью, равной единице.
2.3.3. Методы расчета характеристик погрешности СИ в реальных условиях эксплуатации
Общая характеристика методов
Методы, установленные РД 50-453-84, позволяют рассчитать следующие характеристики погрешности СИ в реальных условиях эксплуатации:
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонениепогрешности СИ;
Нижнюю и верхнююграницы интервала, в котором с вероятностью p находится погрешность СИ.
В зависимости от задач измерений, экономической целесообразности и доступной исходной информации используется один из двух методов.
Метод 1 включает в себя расчет статистических моментов составляющих погрешности СИ и позволяет определить как ,, так и,. Этот метод дает более рациональную (при числе составляющих погрешности СИ более трех) оценку погрешности СИ за счет пренебрежения редко реализующимися значениями погрешности, для чего назначается p<1.
Метод II состоит в расчете наибольших возможных значений составляющей погрешности СИ и позволяет определить ипри p = 1. Этот метод дает грубую (при числе составляющих погрешности СИ более трех), хотя и надежную оценку погрешности СИ, включающую в себя редко реализующиеся значения погрешности.
Метод II целесообразно использовать в следующих случаях:
Если хотя бы маловероятное нарушение требований к точности измерений может привести к серьезным отрицательным техническим и экономическим последствиям или связано с угрозой здоровья и жизни людей;
Завышение требований к МХ СИ, к которому ведет применение данного метода расчета при заданной норме точности измерений, и связанные с этим дополнительные затраты не препятствуют использованию таких СИ.
В качестве исходных данных для расчета используются комплексы НМХ СИ, предусмотренные ГОСТ 8.009-84. НМХ указываются в нормативно-технической документации на СИ как характеристики любого экземпляра СИ данного типа. Вместо этих характеристик в качестве исходных данных могут использоваться индивидуальные МХ СИ, определяемые в результате исследования конкретного экземпляра СИ.
Метод 1
В качестве исходных данных для расчета характеристик погрешности СИ этим методом используются следующие НМХ: математическое ожидание систематической составляющей основной погрешности СИ; среднее квадратическое отклонениесистематической составляющей основной погрешности СИ; пределдопускаемого среднего квадратического отклонения случайной составляющей основной погрешности СИ; пределдопускаемой вариации СИ при нормальных условиях; номинальная ценаединицы наименьшего разряда кода цифрового измерительного прибора (аналого-цифрового измерительного преобразователя); номинальные функции влиянияна систематическую составляющую СИ; номинальные функции влиянияj = 1,2,...,l на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности СИ; номинальные функции влияния j = 1,2,...,k на вариацию СИ; одна из полных динамических характеристик СИ - номинальная переходная характеристика, номинальная импульсная переходная характеристика, номинальная амплитудно-фазовая характеристика, номинальная передаточная функция.
При этом характеристики влияющих величин могут быть заданы в двух видах. Вид 1 - значениявлияющих величин. Вид 2 - математические ожидания, средние квадратические отклонения, наименьшиеи наибольшиезначения влияющих величин, соответствующих реальным условиям эксплуатации СИ, j = 1,2,...,n (k,l).
Параметры входного сигнала задаются в виде спектральной плотности или автокорреляционной функции входногосигнала СИ, соответствующих реальным условиям эксплуатации.
Алгоритм расчета по методу 1
1. Для исходных данных вида 1 математическое ожиданиеистатической составляющей погрешности СИ при реальных значениях влияющих величин вычисляются соответственно по формулам
2. Для исходных данных о влияющих величинах вида 2иопределяются по формулам:
где - наибольшие на интерваленоминальные функции влиянияи.
При этом для линейных функций влияния
выражения для исоответственно имеют вид
где - нормальное значение j-й влияющей величины;
Номинальный коэффициент влияния на.
Для вычисления приближенных значении ив случае линейных функций влияния имеем
где - первая и вторая производные от номинальной функции влиянияпри.
В обоих случаях при определении исуммирование выполняется для n, l и k влияющих величин, для которых нормированы МХи значения которых в момент измерения отличаются от установленных для данного СИ нормальных значений. Кроме того, принимаетсядля аналоговых СИ.
Примечания:
1. Если для СИ нормирован допускаемых значений система-тической составляющей основной погрешности без указания значенийии нет оснований предполагать несимметричность и полимодальность распределения указанной погрешности в пределах, то допускается для расчета характеристик погрешности СИ пользоваться предположением, а
2. Для СИ с индивидуальными метрологическими характеристиками для расчетов характеристик погрешности СИ принимается и, где- наибольшая возможная по абсолютной вели- чине неисключенная систематическая составляющая погрешности СИ.
3. Если для j-й влияющей величины известны только ее наименьшее и наибольшеезначения, соответствующие реальным условиям эксплуатации СИ, и нет оснований выделить области предпочтительных значенийв границах отдо, несимметрично расположенные относительно центра интервала, определяемого указанными границами, то допускается пользоваться предположениеми.
3. Дисперсия , приведенной к выходу динамической составляющей погрешностианалогового СИ, вычисляется по формуле
,
(12)
где - номинальная амплитудно-фазовая характеристика при нормальном значениичастоты.
Если в качестве характеристики входного сигнала задана его , то предварительно определяютпо выражению
В том случае, если заданы динамические характеристики в виде или, или, то предварительно осуществляют преобра-зование этих функций в. При этом дляэто преобразование заключается в замене аргумента s на j, а для и-определяется соответственно по формулам:
Приведенные методы расчета динамической погрешности применимы для таких аналоговых СИ, которые могут рассматриваться как линейные.
Динамическая погрешность цифровых СИ рассчитывается в соот- ветствии с рекомендациями РД 50-148-79 "Нормирование и определе-ние динамических характеристик аналого-цифровых преобразователей мгновенного значения электрического напряжения и тока".
4. Определение характеристик погрешности СИ в реальных условиях эксплуатации производится соответственно по формулам:
Значение k зависит от вида закона распределения погрешности и выбранного значения вероятности p.
Для грубых, ориентировочных расчетов, если закон распределения примерно удовлетворяет указанным требованиям, значения k может быть определено по формуле
k = 5 (p - 0.5) для . (20)
Метод II
В качестве исходных данных при расчете характеристик погрешности CИ методом II используются следующие НМХ: предел допускаемых значений основной погрешности СИ; наибольшие допускаемые измененияпогрешности СИ, вызванные изменением влияющих величинв установленных пределах.
Характеристики влияющих величин могут быть заданы в двух видах. Вид 1 - значения , j = 1, 2,...,n влияющих величин. Вид 2 - наименьшиеи наибольшие, j = 1, 2,...,n значения влияющих величин, соответствующие реальным условиям эксплуатации.
Для описания входного сигнала применяются следующие характеристики: нижняя и верхняяграницы спектра частот реального входного сигнала X СИ.
Кроме того, в качестве нормируемой динамической характеристики при расчете используется номинальная амплитудно-частотная характеристика СИ.
Алгоритм расчета по методу II
В том случае, когда диапазон изменения влияющей величины, для которого нормирована метрологическая характеристика, равен диапазону рабочих условий применения СИ, наибольшее по абсолютной величине возможное значениедополнительной погрешности СИ отрассчитывается по формуле
где
(22)
Если диапазон равен лишь части диапазона рабочих условий применения СИ, причем для любой части рабочих условий нормируется одно и то же значение, товычисляется по формуле
Выражение предполагает наихудший из всех возможных характер зависимости (ступенчатая функция) дополнительной погрешности СИ отв рабочей области значений влияющей величины. Если в результате исследования определена функция влияния конкретного экземпляра СИ, то расчетможет выполняться с использованием этой функции. Например, если в результате исследования установлен линейный характер зависимостиот, то для расчета может быть использовано выражение (23) вместо (22).
При определении значения по формулам (22) и (23) для исходных данных вида 1 в качествеиспользуются конкретные значения влияющей величины, а для исходных данных вида 2 - используется то из значенийили, при которомимеет наибольшее значение.
Оценка сверху относительного значения динамической погрешности для СИ с линейной фазово-частотной характеристикой имеет вид
где - номинальная амплитудно-частотная характеристика при нормальном значениичастоты;- номинальная амплитудно-частотная характеристика, отклоняющаяся на интервалеот значения.
При расчете данным методом нижняя и верхняяграницы интервала, в котором с вероятностью p=1 находится погрешность СИ в реальных условиях эксплуатации, определяются по формулам
,
(25)
где R - результат измерения.
При этом суммирование выполняется для n влияющих величин, для которых нормированы метрологические характеристики и значения которых в момент измерения отличаются от установленных для данного СИ нормальных значений.
При расчетах, используя рассмотренные методы, все исходные данные должны быть приведены к одной и той же точке схемы измерений: входу или выходу СИ и выражены в единицах, обеспечивающих получение всех составляющих погрешности СИ в одних и тех же абсолютных или относительных (в долях или процентах от одного и того же значения измеряемой величины) единицах
Залог успеха эксперимента лежит в качестве его планирования. К эффективным экспериментальным планам относятся «смоделированный план с предварительным и заключительным тестированием, план с заключительным тестированием и контрольной группой, план с предварительным и заключительным тестированием и контрольной группой и план Соломона с четырьмя группами. Эти планы, в отличие от квазиэкспериментальных планов, обеспечивают бо льшую уверенность в результатах, так как устраняют возможность возникновения некоторых угроз для внутренней валидности (т.е. угроз предварительного измерения, взаимодействия, фона, естественного развития, инструментальной погрешности, отбора и выбывания)».
Эксперимент состоит из четырех основных этапов независимо от предмета изучения и от того, кем он осуществляется. Так, при проведении эксперимента следует: определить, что именно необходимо узнать; предпринять соответствующие действия (провести эксперимент, манипулируя одной или несколькими переменными); наблюдать эффект и последствия этих действий на другие переменные; определить, в какой мере наблюдаемый эффект может быть обусловлен предпринятыми действиями.
Чтобы быть уверенным, что наблюдаемые результаты получены именно вследствие экспериментальной манипуляции, эксперимент должен быть валиден. Необходимо исключать факторы, которые могут повлиять на результаты. Иначе будет неизвестно, чему приписывать различия в отношении или поведении респондентов, наблюдаемые до и после экспериментального манипулирования: самому процессу манипулирования, изменению измерительных инструментов, методики записи, способов сбора данных или непоследовательному проведению интервью.
Кроме плана эксперимента и внутренней валидности, исследователю необходимо определить оптимальные условия для проведения запланированного эксперимента. Их классифицируют по уровню реальности экспериментальной обстановки и окружения. Так выделяют лабораторные и полевые эксперименты.
Лабораторные эксперименты: достоинства и недостатки
Лабораторные эксперименты обычно проводятся, когда нужно оценить уровни установленных цен, альтернативные формулировки товара, творческие разработки рекламы, дизайн упаковки. Эксперименты позволяют тестировать различные продукты, рекламные подходы. В ходе лабораторных экспериментов фиксируют психофизиологические реакции, наблюдают за направлением взгляда или за кожно-гальванической реакцией.
При проведении лабораторных экспериментов исследователи имеют достаточные возможности для контроля его хода. Они могут планировать физические условия осуществления экспериментов и манипулировать строго заданными переменными. Но искусственность обстановки проведения лабораторных экспериментов обычно создает среду, отличающуюся от реальных условий. Соответственно в лабораторных у словиях реакция респондентов может отличаться от реакции в естественных условиях.
Как следствие, хорошо разработанные лабораторные эксперименты обычно обладают высокой степенью внутренней валидности, относительно низкой степенью внешней валидности и относительно низким уровнем обобщаемости.
Полевые эксперименты: достоинства и недостатки
В отличие от лабораторных, полевые эксперименты характеризуются высоким уровнем реализма и высоким уровнем обобщаемости. Однако при их проведении возможно возникновение угроз для внутренней валидности. Также необходимо отметить, что проведение полевых экспериментов (очень часто в местах реальных продаж) занимает много времени и дорого стоит.
На сегодня управляемый полевой эксперимент является лучшим инструментом в маркетинговых исследованиях. Он позволяет как выявить связи между причиной и следствием, так и достаточно точно спроектировать результаты эксперимента на реальный целевой рынок.
Примерами проведения полевых экспериментов служат пробные рынки и электронные пробные рынки.
К экспериментам на пробных рынках прибегают при оценке внедрения нового товара, а также альтернатив стратегии и рекламных кампаний перед проведением общенациональной кампании. Таким образом можно оценить альтернативные варианты действия без масштабных финансовых инвестиций.
Для эксперимента на пробном рынке обычно проводится целенаправленный отбор географических областей с целью получить репрезентативные, сопоставимые географические единицы (города, поселки). После того как потенциальные рынки выбраны, они распределяются по экспериментальным условиям. При этом рекомендуется, чтобы «на каждое экспериментальное условие приходилось, по крайней мере, два рынка. Кроме того, если желательно обобщать результаты на всю страну, каждая из экспериментальных и контрольных групп должна включать четыре рынка, по одному из каждого географического региона страны».
Типичный эксперимент на пробном рынке может проводиться в пределах от месяца до года и более. В арсенале исследователей имеются пробные рынки на местах продаж и смоделированные пробные рынки. Пробный рынок на местах продаж обычно имеет довольно высокий уровень внешней валидности и средний уровень внутренней валидности. Смоделированный пробный рынок имеет сильные и слабые стороны, которые присущи лабораторным экспериментам. Это относительно высокий уровень внутренней валидности и относительно низкий уровень внешней валидности. В сравнении с пробными рынками на местах продаж, смоделированные пробные рынки дают бо льшую возможность контроля за посторонними переменными, результаты поступают быстрее и стоимость их получения ниже.
Электронный пробный рынок – это «рынок, на котором маркетинговая исследовательская компания обеспечивает себе возможность контролировать рекламу, передаваемую дома у каждого из участников, и отслеживать покупки, совершенные членами каждой семьи». Исследования, проведенные на электронном пробном рынке, позволяют соотнести тип и количество увиденной рекламы с покупательским поведением. Цель исследования на электронном пробном рынке – повысить степень контроля ситуации эксперимента, не принося при этом в жертву обобщаемость или внешнюю валидность.
Во время эксперимента на электронном пробном рынке, проводимого в пределах ограниченного количества рынков, контролируется телевизионный сигнал, посылаемый в квартиры участников, и регистрируется покупательское поведение лиц, проживающих в этих квартирах. Технологии исследований электронных пробных рынков позволяют менять рекламные ролики для показа каждой отдельной семье, сравнивая реакцию участвующей в тесте группы с контрольной группой. Обычно исследования на пробном электронном рынке продолжаются от шести до двенадцати месяцев.
Более подробную информацию на эту тему можно найти в книге А. Назайкина
Физические процессы можно исследовать аналитическими или экспериментальными методами.
Аналитические методы позволяют изучать процессы на основе математических моделей, которые могут быть представлены в виде функций, уравнений, систем уравнений, в основном дифференциальных или интегральных. Обычно в начале создают грубую модель, которую затем, после ее исследования, уточняют. Такая модель позволяет достаточно полно изучать физическую сущность явления.
Однако им свойственны существенные недостатки. Для того чтобы из всего класса найти частное решение, присущее лишь данному процессу, необходимо задать условия однозначности. Часто неправильное принятие краевых условий приводит к искажению физической сущности явления, а отыскать аналитическое выражение, наиболее реально отображающие это явление, или вообще невозможно или чрезвычайно затруднительно.
Экспериментальные методы позволяют глубоко изучить процессы в пределах точности техники эксперимента, особенно те параметры, которые представляют наибольший интерес. Однако результаты конкретного эксперимента не могут быть распространены на другой процесс, даже весьма близкий по своей сути. Кроме того, из опыта трудно установить, какие из параметров оказывают решающее влияние на ход процесса, и как будет протекать процесс, если меняются одновременно различные параметры. Экспериментальные методы позволяют установить лишь частные зависимости между отдельными переменными в строго определенных интервалах. Использование этих зависимостей за пределами этих интервалов может привести к грубым ошибкам.
Таким образом, и аналитические, и экспериментальные методы имеют свои преимущества и недостатки. Поэтому чрезвычайно плодотворным являются сочетание положительных сторон этих методов исследований. На этом принципе основаны методы сочетания аналитических и экспериментальных исследований, которые, в свою очередь, основываются на методах аналогии, подобия и размерностей.
Метод аналогии. Метод аналогии применяют, когда разные физические явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим суть метода аналогии на примере. Тепловой поток зависит от температурного перепада (закон Фурье):
где λ – коэффициент теплопроводности.
Массперенос или перенос вещества (газа, пара, влаги, пыли) определяется перепадом концентрации вещества С (закон Фика):
– коэффициент масспереноса.
Перенос электричества по проводнику с погонным сопротивлением обусловливается перепадом напряжения (закон Ома):
где ρ – коэффициент электропроводности.
Три различных физических явления имеют идентичные математические выражения. Таким образом, их можно исследовать методом аналогии. При этом в зависимости от того, что принимается за оригинал и модель, могут быть различные виды моделирования. Так, если тепловой поток q т изучают на модели с движением жидкости, то моделирование называют гидравлическим; если его исследуют на электрической модели, моделирование называют электрическим.
Идентичность математических выражений не означает, что процессы абсолютно аналогичны. Чтобы на модели изучать процесс оригинала, необходимо соблюдать критерии аналогии. На прямую сравнивать q т и q э, коэффициенты теплопроводности λ и электропроводности ρ , температуру Т и напряжения U нет смысла. Для устранения этой несопоставимости оба уравнения необходимо представить в безразмерных величинах. Каждую переменную П следует представить в виде произведения постоянной размерности П п на переменную безразмерную П б:
П = П п ∙П б. (4.25)
Имея в виду (4.25), запишем выражения для q т и q э в следующем виде:
Подставим в уравнения (4.22) и (4.24) значения преобразованных переменных, в результате чего получим:
; 
Оба уравнения написаны в безразмерном виде и их можно сравнивать. Уравнения будут идентичны, если
Это равенство называют критерием аналогии. С помощью критериев устанавливают параметры модели по исходному уравнению объекта.
В настоящее время широко применяется электрическое моделирование. С его помощью можно изучить различные физические процессы (колебания, фильтрацию, массперенос, теплопередачу, распределение напряжений). Это моделирование универсально, простое в эксплуатации, не требует громоздкого оборудования. При электрическом моделировании применяют аналоговые вычислительные машины (АВМ). Под которыми, как мы уже говорили, понимают определенное сочетание различных электрических элементов, в которых протекают процессы, описываемые математическими зависимостями, аналогичными с зависимостями для изучаемого объекта (оригинала). Существенным недостатком АВМ является сравнительно небольшая точность и не универсальность, так как для каждой задачи необходимо иметь свою схему, а значить и другую машину.
Для решения задач используют и другие методы электрического моделирования: метод сплошных сред, электрических сеток, электромеханическая аналогия, электрогидродинамическая аналогия и др. Плоские задачи моделируют с использованием электропроводной бумаги, объемные – электролитических ванн.
Метод размерностей. В ряде случаев встречаются процессы, которые не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями. Зависимость между переменными величинами в таких случаях можно установить экспериментально. Для того чтобы ограничить эксперимент и отыскать связь между основными характеристиками процесса, эффективно применять метод анализа размерностей.
Анализ размерностей является методом установления зависимости между физическими параметрами изучаемого явления. Основан он на изучении размерностей этих величин.
Измерение физической характеристики Q означает ее сравнение с другим параметром q той же самой природы, то есть нужно определить во сколько раз Q больше чем q. В этом случае q является единицей измерения.
Единицы измерения составляют систему единиц, например, Международную систему СИ. Система включает единицы измерения, которые независимы одна от другой, их называют основными или первичными единицами. В системе СИ таковыми являются: масса (килограмм), длина (метр), время (секунда), сила тока (ампер), температура (градус Кельвина), сила света (кандела).
Единицы измерений других величин называются производными или вторичными. Они выражаются с помощью основных единиц. Формула, которая устанавливает соотношение между основными и производными единицами называется размерностью. Например, размерность скорости V является
где L – условное обозначение длины, а Т – времени.
Эти символы представляют собой независимые единицы системы единиц измерения (Т измеряется в секундах, минутах, часах и т.д., L в метрах, сантиметрах, и т.д.). Размерность выводится с помощью уравнения, которое в случае скорости имеет следующий вид:
откуда вытекает формула размерности для скорости. Анализ размерностей базируется на следующем правиле: размерность физической величины является произведением основных единиц измерения, возведенных в соответствующую степень.
В механике используют, как правило, три основные единицы измерения: массу, длину и время. Таким образом, в соответствии с вышеприведенным правилом, можно записать:
(4.28)
где N – обозначение производной единицы измерения;
L , M , T – обозначения основных (длина, масса, время) единиц;
l , m , t – неизвестные показатели, которые могут быть представлены целыми или дробными числами, положительными или отрицательными.
Существуют величины, размерность которых состоит из основных единиц в степени, равной нулю. Это так называемые безразмерные величины. Например, коэффициент разрыхления породы представляет собой отношение двух объемов, откуда
следовательно, коэффициент разрыхления есть безразмерная величина.
Если в ходе эксперимента установлено, что определяемая величина может зависеть от нескольких других величин, то в этом случае возможно составить уравнение размерностей, в котором символ изучаемой величины располагается в левой части, а произведение других величин – в правой. Символы в правой части имеют свои неизвестные показатели степени. Чтобы получить окончательно соотношение между физическими величинами, необходимо определить соответствующие показатели степени.
Например, необходимо определить время t , затраченное телом, имеющим массу m , при прямолинейном движении на пути l под действием постоянной силы f . Следовательно, время зависит от длины, массы и силы. В этом случае уравнение размерностей запишется следующим образом:
Левая часть уравнения может быть представлена в виде . Если физические величины изучаемого явления выбраны правильно, то размерности в левой и правой частях уравнения должны быть равны. Тогда система уравнений показателей степени запишется:
тогда x =y =1/2 и z = –1/2.
Это значит, что время зависит от пути как , от массы как и от силы как . Однако получить окончательное решение поставленной задачи с помощью анализа размерностей невозможно. Можно установить лишь общую форму зависимости:
где k – безразмерный коэффициент пропорциональности, который определяют путем эксперимента.
Таким способом находят вид формулы и условия эксперимента. Необходимо определить лишь зависимость между двумя величинам: и А , где А = .
Если размерности левой и правой частей уравнения равны, это значит, что рассматриваемая формула аналитическая и расчеты могут выполняться в любой системе единиц. Напротив, если используется эмпирическая формула, необходимо знать размерности всех членов этой формулы.
Используя анализ размерностей, можно ответить на вопрос: не потеряли ли мы основные параметры, влияющие на данный процесс? Иначе говоря, найденное уравнение является полным или нет?
Предположим, что в предыдущем примере тело при движении нагревается и поэтому время зависит также от температуры С .
Тогда уравнение размерностей запишется:
Откуда легко найти, что , т.е. изучаемый процесс не зависит от температуры и уравнение (4.29) является полным. Наше предположение не верно.
Таким образом, анализ размерностей позволяет:
– найти безразмерные соотношения (критерии подобия), чтобы облегчить экспериментальные исследования;
– выбрать влияющие на изучаемое явление параметры, чтобы найти аналитическое решение задачи;
– проверить правильность аналитических формул.
Метод анализа размерностей очень часто применяется в исследованиях и в более сложных случаях, чем рассмотренный пример. Он позволяет получить функциональные зависимости в критериальном виде. Пусть известна в общем виде функция F для какого-либо сложного процесса
(4.30)
Значения имеют определенную размерность единиц измерения. Метод размерностей предусматривает выбор из числа k трех основных независимых друг от друга единиц измерения. Остальные (k –3) величины, входящие в функциональную зависимость (4.30), выбирают так, чтобы они были представлены в функции F как безразмерные, т.е. в критериях подобия. Преобразования производят с помощью основных, выбранных единиц измерения. При этом функция (4.30) принимает вид:
Три единицы означают, что первые три числа являются отношением n 1 , n 2 и n 3 к соответственно равным значениям а , в , с . Выражение (4.30) анализируют по размерностям величин. В результате устанавливают численные значения показателей степени х …х 3 , у …у 3 , z …z 3 и определяют критерии подобия.
Наглядным примером использования метода анализа размерностей при разработке аналитико-эскпериментальных методов является расчетный метод Ю.З. Заславского, позволяющий определить параметры крепи одиночной выработки.
ЛЕКЦИЯ 8
Теория подобия. Теория подобия – это учение о подобии физических явлений . Ее использование наиболее эффективно в том случае, когда на основе решения дифференциальных уравнений зависимости между переменными отыскать невозможно. В этом случае, воспользовавшись данными предварительного эксперимента, с применением метода подобия составляют уравнение, решение которого можно распространить за пределы эксперимента. Этот метод теоретического исследования явлений и процессов возможен лишь на основе комбинирования с экспериментальными данными.
Теория подобия устанавливает критерии подобия различных физических явлений и с помощью этих критериев исследует свойства явлений.Критерии подобия представляют собой безразмерные отношения размерных физических величин, определяющих изучаемые явления.
Использование теории подобия дает важные практические результаты. С помощью этой теории осуществляют предварительный теоретический анализ проблемы и выбирают систему величин, характеризующих явления и процессы. Она является основой для планирования экспериментов и обработки результатов исследований. Совместно с физическими законами, дифференциальными уравнениями и экспериментом, теория подобия позволяет получать количественные характеристики изучаемого явления.
Формулирование проблемы и установление плана эксперимента на базе теории подобия значительно упрощается благодаря функциональной зависимости между совокупностью величин, определяющих явление или поведение системы. Как правило, в этом случае речь не идет о том, чтобы изучать отдельно влияние каждого параметра на явление. Очень важно, что можно достичь результатов с помощью одного лишь эксперимента над подобными системами.
Свойства подобных явлений и критерии подобия изучаемых явлений характеризуются тремя теоремами подобия.
Первая теорема подобия. Первая теорема, установленная Ж. Бертраном в 1848г., базируется на общем понятии динамического подобия Ньютона и его втором законе механики. Эта теорема формулируется следующим образом: для подобных явлений можно найти определенную совокупность параметров, называемых критериями подобия, которые равны между собой.
Рассмотрим пример. Пусть два тела, имеющие массы m 1 и m 2 , перемещаются с ускорениями соответственно а 1 и а 2 под действием сил f 1 и f 2 . Уравнения движения имеют вид:
Распространяя результат для n подобных систем, получим критерий подобия:
(4.31)
Критерий подобия условились обозначать символом П , тогда результат вышеприведенного примера запишется:
Таким образом, в подобных явлениях соотношение параметров (критерии подобия) равны между собой и для этих явлений справедливо Обратное утверждение также имеет смысл. Если критерии подобия равны, то явления являются подобными.
Найденное уравнение (4.32) называется критерием динамического подобия Ньютона , оно аналогично выражению (4.29), полученному с помощью метода анализа размерностей, и является частным случаем критерия термодинамического подобия, основанного на законе сохранения энергии.
При исследовании сложного явления могут развиваться несколько различных процессов. Подобие каждого из этих процессов обеспечивается подобием явления в целом. С точки зрения практики очень важно, что критерии подобия могут трансформироваться в критерии другого вида с помощью деления или умножения на константу k . Например, если имеются два критерия П 1 и П 2 , следующие выражения являются справедливыми:
Если подобные явления рассматриваются во времени и в пространстве, речь идет о критерии полного подобия. В этом случае описание процесса наиболее сложно, оно позволяет иметь не только численное значение параметра (силу удара взрывной волны в точке, удаленной от места взрыва на 100 м), но также развитие, изменение рассматриваемого параметра во времени (например, увеличение силы удара, скорость затухания процесса и т.д.).
Если подобные явления рассматриваются только в пространстве или во времени, они характеризуются критериями неполного подобия.
Наиболее часто, используют приблизительное подобие, при котором не рассматриваются параметры, влияющие на данный процесс в незначительной степени. Вследствие этого и результаты исследований будут приблизительными. Степень этого приближения определяется путем сравнения с практическими результатами. Речь идет в этом случае о критериях приблизительного подобия.
Вторая теорема подобия (П – теорема ). Она была сформулирована в начале XX века учеными А. Федерманом и У. Букингемом следующим образом: каждое полное уравнение физического процесса может быть представлено в форме () критериев (безразмерных зависимостей), где m есть число параметров, а k – число независимых единиц измерения.
Такое уравнение может быть решено по отношению к любому критерию и может быть представлено в виде критериального уравнения:
. (4.34)
Благодаря П- теореме возможно уменьшить число переменных размерных величин до () безразмерных величин, что упрощает анализданных, планирование эксперимента и обработку его результатов.
Обычно, в механике, в качестве основных единиц принимаются три величины: длину, время и массу. Тогда при исследовании явления, которое характеризуется пятью параметрами (включая, безразмерную константу), достаточно получить взаимосвязь между двумя критериями.
Рассмотрим пример приведения величин к безразмерному виду, используемый обычно в механике подземных сооружений. Напряженное деформированное состояние пород вокруг выработки предопределяется весом вышележащей толщи γН , где γ – объемный вес пород, Н – глубина расположения выработки от поверхности; прочностной характеристикой пород R ; сопротивлением крепи q ; смещениями контура выработки U ; размерами выработки r ; модулем деформации Е .
В общем виде зависимость можно записать следующим образом:
В соответствии с П- теоремой система из п параметров и одной определяемой величины должна дать безразмерных комбинаций. В нашем случае время не принимается во внимание, следовательно, получаем четыре безразмерные комбинации.
из которых можно составить более простую зависимость:
Третья теорема подобия. Эта теорема сформулирована акад. В.Л. Кирпичевым в 1930 г. следующим образом: необходимым и достаточным условием подобия является пропорциональность схожих параметров, составляющих часть условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.
Два физических явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнения и имеют подобные (граничные) условия однозначности, а их определяющие критерии подобия – численно равны.
Условиями однозначности являются условия, с помощью которых конкретное явление отличают от всей совокупности явлений того же типа. Подобие условий однозначности устанавливается в соответствии со следующими критериями:
– подобие геометрических параметров систем;
– пропорциональность физических постоянных, имеющих основное значение для изучаемого процесса;
– подобие начальных условий систем;
– подобие граничных условий систем в течение всего рассматриваемого периода;
– равенство критериев, имеющих основное значение для изучаемого процесса.
Подобие двух систем будет обеспечено в случае пропорциональности их схожих параметров и равенства критериев подобия, определенных с помощью П- теоремы из полного уравнения процесса.
Различают два типа задач в теории подобия: прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении подобия при известных уравнениях. Обратная задача заключается в установлении уравнения, которое описывает подобие схожих явлений. Решение задачи сводится к определению критериев подобия и безразмерных коэффициентов пропорциональности.
Задача нахождения уравнения процесса с помощью П- теоремы решается в следующем порядке:
– определяют тем или иным методом все параметры, влияющие на данный процесс. Один из параметров записывается в виде функции от других параметров:
(4.35)
– предполагают, что уравнение (4.35) является полным и однородным по отношению к размерности;
– выбирают систему единиц измерений. В этой системе выбирают независимые параметры. Число независимых параметров равно k ;
– составляют матрицу размерностей выбранных параметров и рассчитывают детерминант этой матрицы. Если параметры независимы, то детерминант не будет равен нулю;
– находят комбинации критериев, используя метод анализа размерностей, их число в общем случае равно k –1;
– определяют коэффициенты пропорциональности между критериями с помощью эксперимента.
Критерии механического подобия. В горной науке наибольшее применение находят критерии механического подобия. При этом считают, что другие физические явления (термические, электрические, магнитные и др.) не влияют на изучаемый процесс. Чтобы получить необходимые критерии и постоянные подобия используют закон динамического подобия Ньютона и метод анализа размерностей.
В качестве основных единиц принимаются длина, масса и время. Все остальные характеристики рассматриваемого процесса будут находиться в зависимости от этих трех основных единиц. Следовательно, механическое подобие устанавливает критерии для длины (подобие геометрическое), времени (подобие кинематическое) и массы (подобие динамическое).
Геометрическое подобие двух подобных систем будет иметь место, если все размеры модели изменены в С l раз по отношению к системе, имеющей реальные размеры. Иначе говоря, отношение расстояний в натуре и на модели между любой парой аналогичных точек есть величина постоянная, называемая геометрическим масштабом :
. (4.36)
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента пропорциональности , отношение объемов – .
Условие кинематического подобия будет иметь место, если аналогичные частицы систем, перемещаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные расстояния за отрезки времени t n в натуре и t m на модели, которые отличаются коэффициентом пропорциональности:
(4.37)
Условие динамического подобия будет иметь место, если, кроме условий (4.36) и (4.37), еще и массы аналогичных частиц подобных систем отличаются одна от другой коэффициентом пропорциональности:
. (4.38)
Коэффициенты C l , C t , и C m названы коэффициентами подобия.