Если внимательно посмотреть по сторонам, роль математики в жизни человека становится очевидной. Компьютеры, современные телефоны и прочая техника сопровождают нас каждый день, а их создание невозможно без использования законов и расчетов великой науки. Однако роль математики в и общества не исчерпывается подобным ее применением. Иначе, например, многие деятели искусства могли бы с чистой совестью сказать, что время, посвященное в школе решению задач и доказательству теорем, было потрачено впустую. Тем не менее это не так. Попробуем разобраться, для чего нужна математика.
Основание
Для начала стоит понять, что вообще представляет собой математика. В переводе с древнегреческого само ее название означает «наука», «изучение». В основе математики лежат операции подсчета, измерения и описания форм объектов. на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Свойства реальных объектов в ней идеализируются и записываются на формальном языке. Так происходит их преобразование в математические объекты. Часть идеализированных свойств становятся аксиомами (утверждениями, не требующими доказательств). Из них затем выводятся другие истинные свойства. Так формируется реально существующего объекта.
Два раздела
Математику можно разделить на две взаимодополняющие части. Теоретическая наука занимается глубоким анализом внутриматематических структур. Прикладная же предоставляет свои модели другим дисциплинам. Физика, химия и астрономия, инженерные системы, прогнозирование и логика используют математический аппарат постоянно. С его помощью делаются открытия, обнаруживаются закономерности, предугадываются события. В этом смысле значение математики в жизни человека невозможно переоценить.
Основа профессиональной деятельности
Без знания основных математических законов и умения ими пользоваться в современном мире становится очень трудно обучаться практически любым профессиям. С цифрами и операциями с ними имеют дело не только финансисты и бухгалтера. Астроном не сможет определить без таких знаний расстояние до звезды и наилучшее время наблюдения за ней, а молекулярный биолог — понять, как бороться с генной мутацией. Инженер не сконструирует рабочую систему сигнализации или видеонаблюдения, а программист не найдет подход к операционной системе. Многие из этих и других профессий без математики просто не существуют.
Гуманитарные знания
Однако не столь очевидна роль математики в жизни человека, например, посвятившего себя живописи или литературе. И все же следы царицы наук присутствуют и в гуманитарных знаниях.
Казалось бы, поэзия — сплошная романтика и вдохновение, в ней нет места анализу и расчету. Однако достаточно вспомнить стихотворные размеры амфибрахий), как приходит понимание, что математика и тут приложила свою руку. Ритм, словесный или музыкальный, также описывается и просчитывается с применением знаний этой науки.
Для писателя или психолога часто важны такие понятия, как достоверность информации, единичный случай, обобщение и так далее. Все они либо напрямую являются математическими, либо строятся на основе закономерностей, разработанных царицей наук, существуют благодаря ей и по ее правилам.
Психология родилась на стыке гуманитарных и естественных наук. Все ее направления, даже те, что работают исключительно с образами, опираются на наблюдение, анализ данных, их обобщение и верификацию. Здесь используется и моделирование, и прогнозирование, и статистические методы.
Со школы
Математика в нашей жизни присутствует не только в процессе освоения профессии и реализации полученных знаний. Так или иначе мы используем царицу наук практически в каждый момент времени. Именно поэтому математике начинают обучать достаточно рано. Решая простые и сложные задачи, ребенок не просто учится складывать, вычитать и умножать. Он медленно, с азов постигает устройство современного мира. И речь тут идет не о техническом прогрессе или умении проверять сдачу в магазине. Математика формирует некоторые особенности мышления и оказывает влияние на отношение к миру.
Самое простое, самое сложное, самое главное
Наверное, все вспомнят хотя бы один вечер за домашним заданием, когда хотелось отчаянно взвыть: «Я не понимаю, для чего нужна математика!», отбросить в сторону ненавистные сложные и нудные задачки и сбежать во двор к друзьям. В школе и даже позже, в институте, заверения родителей и преподавателей «потом пригодится» кажутся надоедливым бредом. Однако они, оказывается, правы.
Именно математика, а затем и физика, учит находить причинно-следственные связи, закладывает привычку искать пресловутое «откуда ноги растут». Внимание, сосредоточенность, сила воли — они также тренируются в процессе решения тех самых ненавистных задачек. Если пойти дальше, то умение выводить следствия из фактов, прогнозировать будущие события, а также делать тоже закладываются во время изучения математических теорий. Моделирование, абстрагирование, дедукция и индукция — все это наук и одновременно способы работы мозга с информацией.
И снова психология
Часто именно математика дарит ребенку откровение, что взрослые не всемогущи и знают далеко не все. Так бывает, когда мама или папа на просьбу помочь решить задачку лишь разводят руками и объявляют о своей неспособности это сделать. И ребенок вынужден сам искать ответ, ошибаться и снова искать. Бывает и так, что родители просто отказываются помочь. «Ты должен сам», — говорят они. И правильно делают. После многочасовых попыток ребенок получит не просто сделанное домашнее задание, но способность самостоятельно находить решения, обнаруживать и исправлять ошибки. И в этом также кроется роль математики в жизни человека.
Конечно, самостоятельность, умение принимать решения, отвечать за них, отсутствие страха перед ошибками вырабатываются не только на уроках алгебры и геометрии. Но эти дисциплины играют в процессе немалую роль. Математика воспитывает такие качества, как целеустремленность и активность. Правда, многое зависит и от учителя. Неправильная подача материала, излишняя строгость и давление могут, наоборот, привить страх перед трудностями и ошибками (сначала на уроках, а потом и в жизни), нежелание высказывать свое мнение, пассивность.
Математика в повседневной жизни
Взрослые люди после окончания университета или колледжа не перестают каждый день решать математические задачи. Как успеть на поезд? Получится ли из килограмма мяса приготовить ужин для десяти гостей? Сколько калорий в блюде? На какое время хватит одной лампочки? Эти и многие другие вопросы имеют прямое отношение к царице наук и без нее не решаются. Получается, математика в нашей жизни незримо присутствует практически постоянно. Причем чаще всего мы этого даже не замечаем.
Математика в жизни общества и отдельного человека затрагивает огромное количество областей. Некоторые профессии без нее немыслимы, многие появились только благодаря развитию отдельных ее направлений. Современный технический прогресс тесно связан с усложнением и развитием математического аппарата. Компьютеры и телефоны, самолеты и космические аппараты никогда бы не появились, не будь людям известна царица наук. Однако роль математики в жизни человека этим не исчерпывается. Наука помогает ребенку осваивать мир, обучает более эффективному взаимодействию с ним, формирует мышление и отдельные качества характера. Впрочем, сама по себе математика не справилась бы с такими задачами. Как было сказано выше, огромную роль играет подача материала и особенности личности того, кто знакомит ребенка с миром.
Введение. 2
Глава 1. Математические закономерности живой природы. 3
Глава 2. Принципы формообразования в природе 5
Глава 3. Золотое сечение 8
Глава 4. Геометрическая рапсодия Эшера. 15
Глава 5. Трансцендентное число 18
Список использованной литературы. 20
Введение.
При поверхностном знакомстве с математикой она может показаться непостижимым лабиринтом формул, числовых зависимостей и логических тропинок. Случайных посетителей, не познавших подлинной ценности математических сокровищ, страшит сухая схема математических абстракций, сквозь которую математик видит живое многоцветье реальности.
Тот же, кто постиг удивительный мир математики, не остаётся только восторженным созерцателем её сокровищ. Он сам стремится создавать новые математические объекты, ищет пути решения новых задач, или новые, более совершенные, решения уже решённых задач. Уже найдено и опубликовано более 300 доказательств теоремы Пифагора, десятки неклассических квадратур круга, трисекций угла и удвоений куба.
Но неспокойная пытливая мысль влечёт к новым поискам. При этом даже более чем сам результат привлекает поиск его. Это закономерно. Ведь путь к решению каждой достаточно содержательной задачи – всегда изумительная цепь умозаключений, сцементированная законом логики.
Математическое творчество – подлинное творчество ума. Вот что писал советский математик Г.Д.Суворов: «Теорема, записанная логически безупречно, действительно представляется лишённой какого-либо поэтического начала и кажется не плодом пламенной фантазии, а хмурым ребёнком мамы-логики. Но никто не знает, кроме учёного, какой вихрь фантазий и поэтических взлётов породил в действительности эту теорему. Ведь она была крылатой, экзотической бабочкой, прежде чем её пленили, усыпили логикой и прикололи к бумаге булавками доказательств! ». Закономерно, что в своих воспоминаниях К.Ф.Гаусс, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, А.Н.Колмогоров и др. выдающиеся математики рассказали о великой радости, подлинном эстетическом наслаждении, которое они пережили, ища ответы на нерешённые задачи, которые для них были дорогами в незнаемое. Поскольку они шли к этим решениям впервые, и математика подарила им полную меру радости первооткрывателей.
В некоторых задачах среди многих дорог к ответу есть одна, самая неожиданная, часто тщательно «замаскированная» и, как правило, самая красивая и желанная. Большое счастье найти её и по ней пройти. Поиск таких решений, умение выйти за пределы возможностей уже известных алгоритмов является подлинной эстетической математического творчества.
^
Глава 1. Математические закономерности живой природы.
Живая природа демонстрирует многочисленные симметричные формы организмов. Во многих случаях симметричная форма организма дополняется красочной симметричной расцветкой.
Маленький, едва достигающий 4 мм берёзовый долгоносик, конечно же, не знает высшей математики. Но, изготовляя колыбельку для своего потомства, он «вычерчивает», вернее вырезает на листке дерева эволюту – кривую, представляющую собой множество центров кривизны листка. Сам же край листка будет эвольвентой по отношению к кривой, прорезаемой долгоносиком.
Сложным геометрическим закономерностям подчинена архитектура ячейки пчелиных сот.
Теоретические кривые и фазовая кривая колебаний численности популяций в совокупности двух взаимодействующих видов (биоценоза) «хищник-жертва».
Вито Вольтера (1860-1940) – выдающийся итальянский математик. Построил теорию динамики численности биологических популяций,
в которой применил метод дифференциальных уравнений.
Как и большинство математических моделей - биологических явлений, она исходит из многих упрощающих предположений.
В
прыжках центр массы животных описывает хорошо известную фигуру - квадратную параболу, ветви которой обращены вниз: y=ax 2 , a>1, a
Красивы контуры листьев многих растений. С большой точностью формы их описываются изящными уравнениями в полярной или декартовой системе координат.
^
Глава 2. Принципы формообразования в природе
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.
Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».
Раковина моллюсков Nautilus, Haliotis и других формируются в форме логарифмической спирали:p=ae b φ .
Листья на молодых побегах растений располагаются по пространственной спирали. А рассматривая их сверху, обнаружим вторую спираль, поскольку они располагаются ещё так, чтобы не мешать друг другу воспринимать солнечный свет. Расстояния между отдельными листьями характеризуются числами ряда Фибоначчи: 1,1,2,3,5,8,…,u n , u n +1 ,…, где u n =u n -1 +u n -2. 
В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким к двум семействам логарифмических спиралей.
Природа предпочла логарифмическую спираль благодаря многим замечательным свойствам этой кривой. Например, она не изменяется при преобразовании подобия.
Следовательно, организму нет надобности перестраивать архитектуру своего тела в процессе роста.
Ярким примером асимметрии живого на субмолекулярном уровне является вторичная форма материальных носителей наследственной информации - двойная спираль молекулы-гиганта ДНК. Но ДНК – уже спираль, накрученная на нуклеосому, она – спираль вдвойне. Жизнь возникает в трудноуловимом, поразительно точном процессе реализации планов природы-архитектора, согласно которым строятся молекулы белка.
Паук плетёт свою западню в форме сложной трансцендентной кривой – логарифмической спирали p=ae b φ
^
Глава 3. Золотое сечение
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a: b = c: d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ: АС = АВ: ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.
^ Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a: b = b: c или с: b = b: а.
Геометрическое изображение золотой пропорции
П
рактическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x 2 – x – 1 = 0.
Решение этого уравнения:
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
^
История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.
^ Динамические прямоугольники
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».
^
Золотые пропорции в фигуре человека
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
^
Золотые пропорции в частях тела человека
В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Цикорий
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
^ Ящерица живородящая
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
^
Яйцо птицы
Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел.
Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.
Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.
^
Глава 4. Геометрическая рапсодия Эшера.
Голландский художник Маур Корнелюс Эшер(1898-1971) создал целый мир зрительных образов, раскрывающих фундаментальные идеи и закономерности математики, физики, психологические особенности восприятия человеком объектов реальной действительности в окружающем нас трёхмерном пространстве.
Неограниченность пространства, зеркальные образы, противоречия между плоскостью и пространством - все эти понятия воплощены в запоминающихся, исполненных особого очарования образах. Ящерицы в наглядном виде представляют геометрические отображения, изучаемые в средней школе.
Всадники дают прекрасное наглядное представление о параллельном переносе, симметрии, заполнении всей плоскости фигурами сложной конфигурации.
«Куб и волшебные ленты». Ленты «Бельведер» - не просто -
действительно волшебные: геометрическая шутка, а целый
«протуберанцы» на них можно комплекс неожиданностей,
рас сматривать признак и выпуклости, порождённых особенностями и вогнутости. восприятия человеком предметов
Достаточно изменить точку зрения, в трёхмерном пространстве.
как ленты сразу перекрутятся
Мауриц Корнелюс Эшер создал уникальную галерею картин, принадлежащих одновременно искусству и науке. Они иллюстрируют теорию относительности Эйнштейна, строение материи, геометрические преобразования, топологию, кристаллографию, физику. Об этом свидетельствуют названия некоторых альбомов художника: «Неограниченное пространство», «Зеркальные образы», «Инверсии», «Многогранники», «Относительности», «Противоречия между плоскостью и пространством», «Невозможные конструкции».
«Я часто чувствую себя ближе к математикам, чем к своим коллегам-художникам», - писал Эшер. И действительно, его картины необычны, они наполнены глубоким философским смыслом, передают сложные математические отношения. Репродукции картин Эшера широко используются как иллюстрации в научных и научно-популярных книгах.
^
Глава 5. Трансцендентное число
Природа числа - одна из самых больших загадок математики. Интуиция подсказывала, что длина окружности и её диаметр – величины в равной степени постижимые.
Вычислением сотен десятичных знаков на протяжении двух последних веков занимались многие ученые
В книге «Кошмары выдающихся личностей» известный английский математик и философ Бертран Рассел писал: «Лицо Пи было скрыто маской. Все понимали, что сорвать её, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели глаза». Может быть, для описания математического понятия излишне патетично, однако, в общем, верно. Действительно, история числа - это волнующие страницы многовековой победной поступи математической мысли, неутомимого труда открывателей истины. Были на этом пути триумфы побед, были горькие поражения, драматические коллизии и комические недоразумения. Учёные проделали гигантскую работу поиска, раскрывая арифметическую природу одного из самых неподдающихся, загадочных и популярных чисел – числа, обозначаемого греческой буквой .
Шумеро-вавилонские математики вычисляли длину окружности и площадь круга с приближениями, которым соответствует значение =3, знали они и более точное приближение =3 1/8. В папирусе Райна (Ахмеса) указывается, что площадь круга равна (8/9*2R) 2 =256/81R 2
Это означает, что ≈3,1605… .
Архимед первым поставил задачу вычисления длины окружности и площади круга на научную основу. Итак, r = > 48a 96 ≈3,1410>3 10/71
Учёный вычислил верхний предел (3 1/7): 3 10/71≈3,14084…Узбекский математик и астроном аль-Каши, работавший в научном центре известного математика и астронома Улугбека, вычислил число 2 с точностью до 16 правильных десятичных знаков: 2=6,283 185 307 179 5866.
С помощью удвоения числа сторон правильных, вписанных в окружность многоугольников он получил многоугольник с 800 355 168 сторонами.
Голландский математик Лудольф Ван Цейлен (1540-1610) вычислил 35 десятичных знаков и завещал высечь это значение на своём могильном памятнике. 
Одна из красивейших квадратур круга, выполненная польским математиком А.А.Коханьским (1631-1700).
Все построения выполняются при одном и том же растворе циркуля и быстро приводят к достаточно хорошему приближению числа.
Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) – немецкий математик, физик, астроном и философ. Сделал решающий шаг к разгадке числа . В1766г.
он доказал иррациональность числа . Итог раскрытию тайны числа подвёл немецкийматематик Фердинанд Линдеман (1852-1939).
В 1882г. он доказал, что число является трансцендентным. Тем самым была доказана невозможность квадратуры круга в классической постановке этой задачи.
Случайные события: они реализовались с помощью бросания иголки и также помогали учёным вычислить число с достаточно высокой точностью.
Эту задачу впервые поставил и осуществил французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк Бюффон(1707-1788).
Таким самым способом швейцарский астроном и математик Рудольф Вольф (1816-1896)в результате 5 тысяч бросаний иголки нашёл, что =3,1596.
Другие учёные получили следующие результаты: при 3204 бросаниях =3,1533; при 3408 бросаниях =3,141593.
^
Список использованной литературы.
1. Энциклопедический словарь юного математика
2. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые.- М.: Наука, 1976
3. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М., Наука, 1978
4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М., Наука, 1984
5. Глейзер Г.И. История математики в школе., М., Просвещение, 1982
6. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. М., Мир. 1978
Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.
Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.
Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.
Стахов А. Коды золотой пропорции.
Цифры и математические закономерности в живой природе и окружающем нас материальном мире всегда были и будут предметом изучения не только физиками и математиками, но и нумерологами, эзотериками и философами. Дискуссии на тему: "Зародилась ли Вселенная случайным образом в результате большого взрыва или существует Высший разум, законам которого подчинены все процессы?" будут волновать человечество всегда. И в конце этой статьи этому тоже мы найдём подтверждение.
Если это был случайный взрыв, то почему все объекты материального мира построены по одним и тем же подобным схемам, в них заложены одни и те же формулы и функционально они тоже схожи?
Законы живого мира и судьба человека также подобны. В нумерологии все подчинено четким математическим законам. И нумерологи всё чаще об этом говорят. Эволюционные процессы в природе происходят по спирали, и жизненные циклы каждого конкретного человека также спиралевидны. Это ставшие классикой в нумерологии так называемые эпициклы - 9-летние жизненные циклы.
Любой профессиональный нумеролог приведёт массу примеров, доказывающих что дата рождения - это своеобразной генетический код судьбы человека, подобно молекуле ДНК несущий чёткую, математически выверенную информацию о жизненном пути, уроках, задачах и испытаниях личности.
Подобие законов природы и законов Жизни, их целостность и гармоничность находят своё математическое подтверждение в числах Фибоначчи и Золотом сечении.
Математический ряд Фибоначчи - это последовательность натуральных чисел, в котором каждое следующее число - это сумма двух предыдущих чисел. Например, 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144.....
Т.е. 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 и т.д.
В природе число Фибоначчи проиллюстрировано расположением листьев на стеблях растений, соотношением длин фаланг пальцев на руке человека. Пара кроликов, условно помещенных в замкнутое пространство, дают потомство, в определённые отрезки времени по численности соответствующее последовательности чисел Фибоначчи.
Спиралевидные молекулы ДНК имеют ширину 21 и длину 34 ангстрема. И эти числа также вписываются в последовательность.
С помощью последовательности чисел Фибоначчи можно построить так называемую Золотую спираль. Многие объекты растительного и животного мира, а также предметы, нас окружающие, и природные явления подчиняются закономерностям этого математического ряда.
Например, волна, накатывающая на берег, закручивается по Золотой спирали.
Расположение семян подсолнечника в соцветии, строение плода ананаса и сосновых шишек, спиралевидно закрученная раковина улитки.
Последовательность Фибоначчи и Золотая спираль улавливается и в строении галактик.
Человек является частью космоса и центром своей микрозвездной системы.
Структура нумерологической матрицы личности также соответствует последовательности Фибоначчи.
С одного кода по матрице мы последовательно по спирали переходим на другой код.
И опытный нумеролог может определить, какие перед Вами стоят задачи, какой путь для выполнения этих задач нужно выбрать.
Однако, найдя ответ на один волнующий вопрос, получишь два новых вопроса. Решив их, встанет ещё три. Найдя решение трёх задач, получишь уже 5. Далее будет 8, 13, 21 ....
В заключение мы попытаемся в кратких чертах охарактеризовать общие закономерности развития математики.
1. Математика не есть создание какой-либо одной исторической эпохи, какого-либо одного народа; она есть продукт ряда эпох, продукт работы многих поколений. Ее первые понятия и положения возникли,
как мы видели, в глубокой древности и уже более двух тысяч лет назад были приведены в стройную систему. Несмотря на все преобразования математики, ее понятия и выводы сохраняются, переходя из одной эпохи к другой, как, например, правила арифметики или теорема Пифагора.
Новые теории включают в себя предшествующие достижения, уточняя, дополняя и обобщая их.
В то же время, как ясно из данного выше краткого очерка истории математики, ее развитие не только не сводится к простому накоплению новых теорем, но включает существенные, качественные изменения. Соответственно, развитие математики разделяется на ряд периодов, переходы между которыми как раз и обозначены такими коренными изменениями в самом предмете или структуре этой науки.
Математика включает в свою сферу все новые области количественных отношений действительности. В то же время важнейшим предметом математики были и остаются пространственные формы и количественные отношения в простом, наиболее непосредственном смысле этих слов, и математическое осмысление новых связей и отношений неминуемо происходит на основе и в связи с уже сложившейся системой количественных и пространственных научных представлений.
Наконец, накопление результатов внутри самой математики необходимо влечет как восхождение к новым ступеням абстракции, к новым обобщающим понятиям, так и углубление в анализ основ и первоначальных понятий.
Как дуб в своем могучем росте утолщает Старые ветви новыми слоями, выбрасывает новые ветви, тянется вверх и углубляется корнями вниз, так и математика в своем развитии накапливает новый материал в уже сложившихся своих областях, образует новые направления, восходит к новым вершинам абстракции и углубляется в своих основах.
2. Математика имеет своим предметом реальные формы и отношения действительности, но, как говорил Энгельс, чтобы изучить эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное. Однако форм и отношений вне содержания не существует, математические формы и отношения не могут быть абсолютно безразличными к содержанию. Стало быть, математика, по самой своей сущности стремящаяся осуществить такое отделение, стремится осуществить невозможное. Это и есть коренное противоречие в самой сущности математики. Оно является специфическим для математики проявлением общего противоречия познания. Отображение мыслью всякого явления, всякой стороны, всякого момента действительности огрубляет, упрощает его, выхватывая его из общей связи природы. Когда люди, изучая свойства пространства, установили, что оно имеет эвклидову геометрию, был совершен исключительно
важный акт познания, но в нем же заключалось заблуждение: реальные свойства пространства были [взяты упрощенно, схематично, в отвлечении от материи. Но без этого просто не было бы геометрии, и именно на почве этого отвлечения (как из внутреннего его исследования, так и из сопоставления математических результатов с новыми данными других наук) зарождались и укреплялись новые геометрические теории.
Постоянное разрешение и восстановление указанного противоречия на все более приближающихся к действительности ступенях познания и составляет сущность развития познания. При этом определяющим является, конечно, положительное содержание познания, элемент абсолютной истины в нем. Познание идет по восходящей линии, а не топчется на месте в простом смешении с заблуждением. Движение познания есть постоянное преодоление его неточности и ограниченности.
Указанное основное противоречие влечет за собой другие. Мы видели это на примере противоположностей дискретного и непрерывного. (В природе между ними нет абсолютного разрыва, и их разделение в математике неизбежно влекло необходимость создания все новых понятий, глубже отражающих действительность и одновременно преодолевающих внутренние несовершенства существующей математической теории). Совершенно так же противоречия конечного и бесконечного, абстрактного и конкретного, формы и содержания и др. выступают в математике как проявления ее коренного противоречия. Но решающее его проявление состоит в том, что, отвлекаясь от конкретного, вращаясь в кругу своих абстрактных понятий, математика тем самым отделяется от эксперимента и практики, а вместе с тем она лишь постольку является наукой (т. е. имеет познавательную ценность), поскольку опирается на практику, поскольку оказывается не чистой, а прикладной математикой. Говоря несколько гегелевским языком, чистая математика постоянно «отрицает» себя как чистую математику, без этого она не может иметь научного значения, не может развиваться, не может преодолевать неминуемо возникающие внутри нее трудности.
В своем формальном виде математические теории противостоят реальному содержанию как некоторые схемы для конкретных выводов. Математика выступает при этом как метод формулировки количественных законов естествознания, как аппарат для разработки его теорий, как средство решения задач естествознания и техники. Значение чистой математики на современном этапе заключено прежде всего в математическом методе. И как всякий метод существует и развивается не сам по себе, а только на основе своих применений, в связи с содержанием, к которому он применяется, так и математика не может существовать и развиваться без применений. Здесь опять обнаруживается единство противоположностей: общий метод противостоит конкретной задаче, как средство ее решения, но он сам возникает из обобщения конкретного материала и существует
развивается и находит свое оправдание только в решении конкретных задач.
3. Общественная практика играет определяющую роль в развитии математики в трех отношениях. Она ставит перед математикой новые проблемы, стимулирует ее развитие в том или ином направлении и дает критерий истинности ее выводов.
Это чрезвычайно ясно видно на примере возникновения анализа. Во-первых, именно развитие механики и техники выдвинуло проблему изучения зависимостей переменных величин в их общем виде. Архимед, подойдя вплотную к дифференциальному и интегральному исчислению, оставался, однако, в рамках задач статики, тогда как в новое время имен но исследование движения породило понятия переменной и функции и понудило к оформлению анализа. Ньютон не мог развить механику, не развивая соответствующего математического метода.
Во-вторых, именно потребности общественного производства побуждали к постановке и решению всех этих проблем. Ни в античном, ни в средневековом обществе этих стимулов еще не было. Наконец, весьма характерно, что математический анализ в своем возникновении находил обоснование своих выводов именно в приложениях. Только поэтому он и мог развиваться без тех строгих определений его основных понятий (переменная, функция, предел), которые были даны позже. Истинность анализа устанавливалась применениями в механике, физике и технике.
Сказанное относится ко всем периодам развития математики. Начиная с XVII в. наиболее непосредственное влияние на ее развитие оказывают вместе с механикой теоретическая физика и проблемы новой техники. Механика сплошной среды, а потом теория поля (теплопроводность, электричество, магнетизм, поле тяготения) направляют развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разработка молекулярной теории и вообще статистической физики, начиная с конца прошлого века, служила важным стимулом развития теории вероятностей, особенно теории случайных процессов. Теория относительности сыграла решающую роль в развитии римановой геометрии с ее аналитическими методами и обобщениями.
В настоящее время развитие новых математических теорий, как функциональный анализ и др., стимулируется проблемами квантовой механики и электродинамики, задачами вычислительной техники, статистическими вопросами физики и техники и т. д. и т. п. Физика и техника не только ставят перед математикой новые задачи, наталкивают ее на новые предметы исследования, но также пробуждают развитие нужных для них разделов математики, которые складывались первоначально в большей мере внутри нее самой, как это было с римановой геометрией. Короче, для интенсивного развития науки нужно, чтобы она не только подошла к решению новых задач, но чтобы необходимость их решения навязывалась
потребностями развития общества. В математике в последнее время возникает много теорий, но только те из них получают развитие и прочно входят в науку, которые нашли свои применения в естествознании и технике либо сыграли роль важных обобщений тех теорий, которые имеют такие приложения. Вместе с тем другие теории остаются без движения, как, например, некоторые рафинированные геометрические теории (недезарговы, неархимедовы геометрии), не нашедшие существенных применений.
Истинность математических выводов находит свое последнее основание не в общих определениях и аксиомах, не в формальной строгости доказательств, а в реальных приложениях, т. е. в конечном счете в практике.
В целом, развитие математики нужно понимать прежде всего как результат взаимодействия логики ее предмета, отраженной во внутренней логике самой математики, влияния производства и связей с естествознанием. Это различие идет сложными путями борьбы противоположностей, включая существенные изменения в основном содержании и формах математики. По содержанию развитие математики определяется ее предметом, но побуждается оно в основном и в конечном счете потребностями производства. Такова основная закономерность развития математики.
Конечно, мы не должны забывать при этом, что речь идет лишь об основной закономерности и что связь математики с производством, вообще говоря, является сложной. Из того, что говорилось выше, ясно, что было бы наивным пытаться обосновать появление каждой данной математической теории непосредственным «производственным заказом». Более того, математика, как и всякая наука, обладает относительной самостоятельностью, своей внутренней логикой, отражающей, как мы это подчеркивали, объективную логику, т. е. закономерность ее предмета.
4. Математика всегда испытывала самое существенное влияние не только общественного производства, но и всех общественных условий в целом. Ее блестящий прогресс в эпоху возвышения древней Греции, успехи алгебры в Италии в эпоху Возрождения, развитие анализа в эпоху, последовавшую за английской революцией, успехи математики во Франции в период, примыкающий к Французской революции, - все это убедительно демонстрирует неразрывную связь прогресса математики с общим техническим, культурным, политическим прогрессом общества.
Это также ярко видно на примере развития математики в России. Становление самостоятельной русской математической школы, идущей от Лобачевского, Остроградского и Чебышева, нельзя отделить от прогресса русского общества в целом. Время Лобачевского - это время Пушкина,
Глинки, время декабристов, и расцвет математики был одним из элементов общего подъема.
Тем более убедительно влияние общественного развития в период после Великой Октябрьской социалистической революции, когда исследования фундаментального значения появлялись друг за другом с поразительной быстротой во многих направлениях: в теории множеств, топологии, теории чисел, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, алгебре, геометрии.
Наконец, математика всегда испытывала и испытывает на себе заметное влияние идеологии. Как и во всякой науке, объективное содержание математики воспринимается и толкуется математиками и философами в рамках той или иной идеологии.
Короче, объективное содержание науки всегда укладывается в те или иные идеологические формы; единство и борьба этих диалектических противоположностей - объективного содержания и идеологических форм - в математике, как и во всякой науке, играют далеко не последнюю роль в ее развитии.
Борьба материализма, отвечающего объективному содержанию науки, с идеализмом, противоречащим этому содержанию и извращающим его понимание, идет через всю историю математики. Эта борьба ясно обозначена уже в древней Греции, где против материализма Фалеса, Демокрита и других философов, создававших греческую математику, выступал идеализм Пифагора, Сократа и Платона. С развитием рабовладельческого строя верхушка общества отрывалась от участия в производстве, считая его уделом низшего класса, и это порождало отрыв «чистой» науки от практики. Достойной внимания истинного философа признавалась лишь чисто теоретическая геометрия. Характерно, что появившиеся исследования некоторых механических кривых и даже конических сечений Платон считал остающимися за пределами геометрии, так как они «не приводят нас в общение с вечными и бестелесными идеями» и «нуждаются в применении орудий пошлого ремесла».
Яркий пример борьбы материализма против идеализма в математике представляет деятельность Лобачевского, который выдвинул и отстаивал материалистическое понимание математики против идеалистических взглядов кантианства.
Для русской математической школы вообще характерна материалистическая традиция. Так, Чебышев явно подчеркивал решающее значение практики, а Ляпунов выразил стиль отечественной математической школы в следующих замечательных словах: «Детальная разработка вопросов, особенно важных сточки зрения приложения и в то же время представляющих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории». Обобщения и абстракции не сами по себе, а в связи с конкретным материалом
теоремы и теории не сами по себе, а в общей связи науки, ведущей в конечном счете к практике, - вот что оказывается на самом деле важным и перспективным.
Таковы же были устремления таких великих ученых, как Гаусс и Риман.
Однако с развитием капитализма в Европе материалистические взгляды, отражавшие передовую идеологию возвышающейся буржуазии эпохи XVI - начала XIX вв., стали сменяться идеалистическими воззрениями. Так, например, Кантор (1846-1918), создавая теорию бесконечных множеств, прямо ссылался на бога, высказываясь в том духе, что бесконечные множества имеют абсолютное существование в божественном разуме. Крупнейший французский математик конца XIX- начала XX в. Пуанкаре выдвинул идеалистическую концепцию «конвенционализма», согласно которой математика есть схема условных соглашений, принимаемых для удобства описания многообразия опыта. Так, по мнению Пуанкаре, аксиомы эвклидовой геометрии суть не более как условные соглашения и значение их определяется удобством и простотой, но не соответствием реальной действительности. Поэтому Пуанкаре говорил, что, например, в физике скорее откажутся от закона прямолинейного распространения света, чем от эвклидовой геометрии. Эта точка зрения была опровергнута развитием теории относительности, которая, вопреки всей «простоте» и «удобству» эвклидовой геометрии, в полном согласии с материалистическими идеями Лобачевского и Римана, привела к выводу, что реальная геометрия пространства отлична от эвклидовой.
На почве трудностей, возникших в теории множеств, и в связи с необходимостью анализа основных понятий математики, среди математиков в начале XX в. появились разные течения. Единство в понимании содержания математики было утрачено; разные математики стали по-разному рассматривать не только общие основы науки, что было и раньше, но даже по-разному стали оценивать смысл и значение отдельных конкретных результатов и доказательств. Выводы, казавшиеся осмысленными и содержательными для одних, другие объявляли лишенными смысла и значения. Возникли идеалистические течения «логицизма», «интуиционизма» «формализма» и др.
Логисты утверждают, что вся математика выводима из понятий логики. Интуиционисты видят источник математики в интуиции и придают смысл лишь интуитивно воспринимаемому. Поэтому они, в частности, вовсе отрицают значение канторовской теории бесконечных множеств. Более того, интуиционисты отрицают простой смысл даже таких утверждений
как теорема о том, что всякое алгебраическое уравнение степени имеет корней. Для них это утверждение пусто, пока не указан способ вычисления корней. Так, полное отрицание объективного смысла математики привело интуиционистов к опорочиванию, как «лишенной смысла», значительной части достижений математики. Наиболее крайние из них дошли до утверждения, что существует столько математик, сколько есть математиков.
Попытку по-своему спасти математику от такого рода нападок предпринял крупнейший математик начала нашего века - Д. Гильберт. Сущность его идеи сводилась к тому, чтобы свести математические теории к чисто формальным операциям над символами согласно предписанным правилам. Расчет состоял в том, что при таком совершенно формальном подходе все трудности будут сняты, ибо предметом математики окажутся символы и правила действия с ними без всякого отношения к их смыслу. Это и есть установка формализма в математике. По словам интуициониста Брауэра, для формалиста истина математики на бумаге, тогда как для интуициониста она в голове математика.
Нетрудно, впрочем, видеть, что оба они неправы, ибо математика, а вместе с тем и то, что написано на бумаге, и то, что думает математик, отражает действительность, и истина математики заключается в ее соответствии объективной действительности. Отрывая математику от материальной действительности, все эти течения оказываются идеалистическими.
Идея Гильберта потерпела поражение в результате ее собственного развития. Австрийский математик Гедель доказал, что даже арифметику нельзя формализовать полностью, как на то рассчитывал Гильберт. Вывод Геделя явно вскрыл внутреннюю диалектику математики, которая не позволяет исчерпать ни одну ее область формальным исчислением. Даже простейшая бесконечность натурального ряда чисел оказалась неисчерпываемой конечной схемой символов и правил действия с ними. Так, было математически доказано то, что высказал в общем виде еще Энгельс, когда писал:
«Бесконечность есть противоречие... Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности». Гильберт рассчитывал заключить математическую бесконечность в рамки конечных схем и тем самым ликвидировать все противоречия и трудности. Это оказалось невозможным.
Но в условиях капитализма конвенционализм, интуиционизм, формализм и другие подобные течения не только сохраняются, ной дополняются новыми вариантами идеалистических взглядов на математику. Теории, связанные с логическим анализом основ математики, существенно используются в некоторых новых вариантах субъективного идеализма. Субъективный
идеализм использует теперь математику, в частности математическую логику, не меньше, чем физику, и потому вопросы понимания основ математики приобретают особую остроту.
Так, трудности развития математики породили в условиях капитализма идеологический кризис этой науки, сходный в своих основах с кризисом физики, сущность которого была выяснена Лениным в его гениальном произведении «Материализм и эмпириокритицизм». Этот кризис вовсе не означает, что математика в капиталистических странах совершенно задержана в своем развитии. Ряд ученых, стоящих на явно идеалистических позициях, делает важные, порой выдающиеся успехи в решении конкретных математических вопросов и развитии новых теорий. Достаточно сослаться на блестящую разработку математической логики.
Коренной порок распространенного в капиталистических странах взгляда на математику состоит в его идеализме и метафизике: в отрыве математики от действительности и пренебрежении ее реальным развитием. Логистика, интуиционизм, формализм и другие подобные направления выделяют в математике какую-нибудь одну ее сторону - связь с логикой, интуитивную ясность, формальную строгость и т. п. - неосновательно преувеличивают, абсолютизируют ее значение, отрывают ее от действительности и за глубоким анализом этой одной черты математики самой по себе теряют из виду математику в целом. Именно вследствие этой односторонности ни одно из этих течений при всей тонкости и глубине отдельных выводов не может привести к верному пониманию математики. В противоположность различным течениям и оттенкам идеализма и метафизики диалектический материализм рассматривает математику, как и всю науку в целом, такой, как она есть, во всем богатстве и сложности ее связей и развития. И именно потому, что диалектический материализм стремится понять все богатство и всю сложность связей науки с действительностью, всю сложность ее развития, идущего от простого обобщения опыта к высшим абстракциям и от них к практике, именно потому, что самый свой подход к науке он постоянно приводит в соответствие с ее объективным содержанием, с ее новыми открытиями, именно поэтому и, в конечном счете только поэтому, он и оказывается единственной подлинно научной философией, ведущей к верному пониманию науки вообще и, в частности, - математики.
Введение
Нам в школе часто повторяют, что математика – царица наук. Однажды я услышал другую фразу, которую когда-то произнес один из школьных учителей и любит повторять мой папа: «Природа не настолько глупа, чтобы не использовать законы математики». (Котельников Ф.М. бывший профессор математики кафедры МГУ). Именно это дало мне мысль изучить этот вопрос.
Эту мысль подтверждает следующее изречение: «Красота всегда относительна… Не следует… полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звездами неодинаковы, еще не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении, на самом же деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, нив царстве растений и животных, ни среди людей». (Ричард Бентли, английский ученый 17-го века)
Но изучая математику, мы опираемся только на знание формул, теоремы, расчеты. И математика предстает перед нами как некая абстрактная наука, оперирующая цифрами. Однако, как оказывается, математика – красивая наука.
Именно поэтом я поставил перед собой следующую цель: показать красоту математики при помощи закономерностей, существующих в природе.
Чтобы достичь своей цели, она была разделена на ряд задач:
Изучить разнообразие математических закономерностей, используемых природой.
Дать описание этих закономерностей.
На собственном опыте попытаться найти математические соотношения в строении тела кошки (Как сказано в одном известном фильме: тренироваться на кошках).
Методы, используемые в работе: анализ литературы по теме, научный эксперимент.
- 1. Поиск математических закономерностей в природе.
Математические закономерности можно искать как в живой, так и в неживой природе.
Кроме этого, необходимо определить, какие закономерности надо искать.
Так как в шестом классе изучено не так много закономерностей, мне пришлось изучить учебники старших классов. Кроме этого, мне надо было учесть, что очень часто природа использует геометрические закономерности. Поэтому помимо учебников алгебры, мне пришлось обратить свое внимание и на учебники геометрии.
Математические закономерности, найденные в природе:
- Золотое сечение. Числа Фибоначчи (спираль Архимеда). А также другие виды спиралей.
- Различные виды симметрии: центральная, осевая, поворотная. А также симметрия в живой и неживой природе.
- Углы и геометрические фигуры.
- Фракталы. Термин фрактал образовал от латинского fractus (ломать, разламывать), т.е. создавать фрагменты неправильной формы.
- Арифметическая и геометрия прогрессии.
Рассмотрим более подробно выделенные закономерности но в несколько другой последовательности.
Первое, что бросается в глаза, это наличие симметрии в природе.В переводе с греческого это слово обозначает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математически строгое представление о симметрии сформировано относительно недавно – в 19 веке. В наиболее простой трактовке (по Г.Вейлю) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. .
В природе наиболее распространены два вида симметрии – «зеркальная» и «лучевая» («радиальная») симметрии. Однако помимо одного названия у этих видов симметрии есть и другие. Так зеркальная симметрия еще называется: осевая, билатеральная, симметрия листка. Лучевая симметрия еще носит название радиальной.
Осевая симметрия встречается в нашем мире больше всего. Дома, различные аппараты, автомобили (внешне), люди(!) всё симметрично, ну или почти. Люди симметричны тем, что у всех здоровых людей две руки, на каждой руке пять пальцев, если ладони сложить, то будет как бы зеркальное отражение.
Проверить симметричность очень просто. Достаточно взять зеркало, и приложить его примерно посередине объекта. Если та часть объекта, что находится на матовой, неотражающей стороне зеркала, соответствует отражению, то предмет симметричен.
Радиальная симметрия .Все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии.
Листья и цветы многих растений имеют радиальную симметрию. (рис. 1, приложения)
На поперечных сечениях тканей, образующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия (плоды киви, срез дерева). Радиальная симметрия характерна для малоподвижных и прикрепленных форм (кораллы, гидра, медузы, актинии). (рис. 2, приложения)
Поворотная симметрия . Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию – симметрию винтовой лестницы. Пример винтовой симметрии – расположение листьев на стебле многих растений. Головка подсолнечника имеет отростки, расположенные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. (рис. 3, приложения)
Симметрия встречается не только в живой природе. В неживой природе тоже находятся примеры симметрии. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира. Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул).
Очень красива симметрия снежинок.
Но надо сказать, что природа не терпит точной симметрии. Всегда есть хотя бы незначительные отклонения. Так, наши руки, ноги, глаза и уши не полностью идентичны друг другу, пусть и очень похожи.
Золотое сечение.
Золотое сечение в 6-ом классе сейчас не проходят. Но известно, что золотое сечение, или золотая пропорция – это соотношение меньшей части к большей, дающее одинаковый результат при делении всего отрезка на большую часть и деление большей части на меньшую. Формула: A/B=B/C
В основном соотношение 1/1,618. Золотая пропорция очень часто встречается в животном мире.
Человек, можно сказать, полностью «состоит» из золотой пропорции. К примеру расстояние между глазами(1,618) и между бровями(1) является золотым сечением. А расстояние от пупка до ступни и рост тоже будет золотой пропорцией. Все наше тело «усыпано» золотыми пропорциями. (рис. 5, приложения)
Углы и геометрические фигуры в природе тоже встречаются часто. Есть заметные углы, например они четко видны в семенах подсолнечника, в сотах, на крыльях насекомых, в листьях клена и т.д. Молекула воды имеет угол 104,7 0 С. Но есть и малозаметные углы. Например, В соцветии подсолнечника семена расположены под углом 137,5 градусов относительно центра.
Геометрические фигуры в живой и неживой природе также видели все, только мало обращали на них внимания. Как известно, радуга – это часть эллипса, центр которого находится ниже уровня земли. Форму эллипса имеют листочки растений, плоды слив. Хотя наверняка их можно рассчитать по какой-то более сложной формуле. Например, вот такой (рис. 6, приложения):
Ель, некоторые виды ракушек, различные шишки имеют форму конуса. Некоторые соцветия похожи то ли на пирамиду, то ли на октаэдр, то ли на тот же самый конус.
Самым известным природным шестиугольником являются соты (пчелиные, осиные, шмелиные и т.д.). В отличие от многих других форм, они имеют практически идеальную форму и отличаются только размерами ячеек. Но если обратить внимание, то заметно, что фасетчатые глаза насекомых тоже близки к этой форме.
Еловые шишки очень походи на небольшие цилиндры.
В неживой природе почти невозможно найти идеальные геометрические формы, но многие горы похожи на пирамиды с разным основанием, а песчаная коса напоминает эллипс.
И таких примеров множество.
Я уже рассмотрел золотое сечение. Теперь хочу обратить свое внимание на числа Фибоначчи и другие спирали , которые тесно связаны с золотой пропорцией.
Спирали очень распространены в природе. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда (рис. 2). Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. (рис.7 приложения)
"Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Как отмечалось выше, рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. В книге "Кривые линии в жизни" Т. Кук исследует различные виды спиралей, проявляющихся в рогах баранов, коз, антилоп и других рогатых животных.
Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке – филлотаксис, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.
И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Гете называл спираль «кривой жизни».
Чешуйки сосновой шишки на ее поверхности расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом.
Однако вернемся к одной выбранной спирали – числам Фибоначчи. Это очень интересные числа. Число получается при сложении двух предыдущих. Вот начальные числа Фибоначчи по 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… И обратимся к наглядным примерам (слайд 14).
Фракталы были открыты не так давно. Понятие фрактальной геометрии появилось в 70-х годах 20 века. Сейчас фракталы активно вошли в нашу жизнь, и даже развивается такое направление как фрактальная графика. (рис.8, приложения)
В природе фракталы встречаются довольно часто. Однако это явление больше характерно для растений и неживой природы. Например, листья папоротника, зонтичные соцветия. В неживой природе – это разряды молний, узоры на окнах, налипание снега на ветки деревьев, элементы береговой линии и многое другое.
Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия в самом элементарном ее определении – это умножение предыдущего числа на коэффициент.
Эта прогрессия присутствует у одноклеточных организмов. К примеру любая клетка делится на две, эти две делятся на четыре и т.д. То есть это геометрическая прогрессия с коэффициентом 2. А простым языком – количество клеток с каждым делением возрастает в 2 раза.
У бактерий всё точно также. Деление, увеличение популяции вдвое.
Таким образом, я изучил математические закономерности, существующие в природе, и привел соответствующие примеры.
Необходимо отметить, что на данный момент математические законы в природе активно изучаются и даже существует наука, которая называется биосимметрикой. Она описывает намного более сложные закономерности, чем были рассмотрены в работе.
Проведение научного эксперимента.
Обоснование выбора:
В качестве подопытного животного кошка была выбрана по нескольким причинам:
У меня есть кошка дома;
У меня их дома четыре штуки, поэтому полученные данные должны быть более точные, чем при изучении одного животного.
Последовательность эксперимента:
Измерение тела кошки.
Запись полученных результатов;
Поиск математических закономерностей.
Выводы по полученным результатам.
Список того, что надо изучить на кошке:
- Симметрия;
- Золотая пропорция;
- Спирали;
- Углы;
- Фракталы;
- Геометрическая прогрессия.
Изучение симметрии на примере кошки показало, что кошка симметрична. Вид симметрии – осевая, т.е. она симметрична относительно оси. Как было изучено в теоретическом материале, для кошка, как для подвижного животного нехарактерна радиальная, центральная, а также поворотная симметрия.
Для изучения золотой пропорции я сделал замеры тела кошки, сфотографировал ее. Соотношение размера тела с хвостом и без хвоста, тела без хвоста к голове действительно подходят близко в значению золотой пропорции.
65/39=1,67
39/24=1,625
В данном случаенадо учитывать ошибку измерений, относительность длины шерсти. Но в любом случае полученные результаты близки к значению 1,618. (рис. 9, приложение).
Кошка упорно не хотела давать ее измерить, поэтому я постарался ее сфотографировать, составил шкалу золотой пропорции и наложил на фотографии кошек. Некоторые результаты получились очень интересными.
Например:
- высота сидячей кошки от пола до головы, и от головы до «подмышки»;
- «кистевой» и «локтевой суставы»;
- высота сидячей кошки к высоте головы;
- ширина морды к ширине переносицы;
- высота морды к высоте до глаз;
- ширина носа к ширине ноздри;
Спираль у кошки я нашел только одну – это когти. Похожую спираль называют эвольвентой.
В организме кошки можно найти различные геометрические фигуры, но я искал углы. Угловатыми у кошки оказались только уши и когти. Но когти, как я определил раньше – это спирали. Форма ушей больше напоминает пирамиду.
Поиск фракталов на теле кошки не дал результатов, так как у нее нет ничего похожего и делящегося на такие же мелкие детали. Все-таки фракталы больше характерны для растений, чем для животных, тем более млекопитающих.
Но, поразмышляв над данным вопросом, я пришел в выводу, что фракталы в теле кошки есть, но во внутреннем строении. Так как биологию млекопитающих я еще не изучал, я обратился к Интернету и нашел такие рисунки (рис.10, приложения):
Благодаря им я убедился, что кровеносная и дыхательная система кошки ветвятся по закону фракталов.
Геометрическая прогрессия характерна для процесса размножения, но никак не для тела. Арифметическая прогрессия для кошек не характерна, так как кошка рожает определенное количество котят. Геометрическую прогрессию в размножении кошек, наверное, можно найти, но скорее всего там будут какие-то сложные коэффициенты. Объясню свои размышления.
Кошка начинает рожать котят в возрасте от 9 месяцев до 2 лет (все зависит от самой кошки). Период вынашивания – 64 дня. Кошка выкармливает котят около 3 месяцев, поэтому в среднем у нее будет 4 помета в год. Количество котят от 3 до 7. Как вы видите определенные закономерности можно уловить, но это не является геометрической прогрессией. Слишком размытые параметры.
Я получил такие результаты:
В теле кошки присутствуют: осевая симметрия, золотая пропорция, спирали (когти), геометрические формы (пирамидальные уши).
Во внешнем виде отсутствуют фракталы и геометрическая прогрессия.
Внутренне строение кошки относится больше к сфере биологии, но надо отметить, что строение легких и кровеносной системы (как и других животных) подчиняется логике фракталов.
Заключение
В своей работе я исследовал литературу по теме и изучил основные теоретические вопросы. На конкретном примере доказал, что в природе очень многое, если не все подчиняется математическим законам.
Изучив материал, я понял, чтобы понять природу надо знать не только математику, надо изучать алгебру, геометрию и их разделы: стереометрию, тригонометрию и т.д.
На примере домашней кошки я исследовал исполнение математических законов. В результате я получил, что в теле кошки присутствует осевая симметрия, золотая пропорция, спирали, геометрические формы, фракталы (во внутреннем строении). Но при этом не сумел найти геометрическую прогрессию, хотя явно прослеживались некие закономерности в размножении кошек.
И теперь я согласен с фразой:«Природа не настолько глупа, чтобы не подчинить всё законам математики».